Примеры для самостоятельной работы
Вычислить следующие повторные интегралы:
1.
;2.
;3.
;4.
.
Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам d:
5. ;6. ;
7.
;
8.
;
9.
.
Вычислить повторные интегралы, написать уравнения линий, ограничивающих область интегрирования соответствующих двойных интегралов:
10.
;11.
;12.
;13.
.
Расставить
пределы интегрирования в повторных
интегралах, к которым сводятся двойные
интегралы
от функцииf(x,
y),
непрерывной в указанных областях D:
14. D ограничена линиями у2 = х, х = 1;
15. D ограничена линиями у = х2 + х, х – у + 3 = 0;
16.
D
ограничена линиями у
= х, у
=
х,
х2
+ у2
= 8 (х
0, у
0);
17. D ограничена линиями х2 + у2 = 4, у = 2х – х2, х = 0 (х 0, у 0).
Записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования:
18.
;19.
;
20.
;21.
;
22.
.
Переменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования:
23.
;24.
;25.
;
26.
;27.
;28.
.
Вычислить двойные интегралы:
29.
,D
ограничена линиями х2
+ у2
= 4, х + у –2 = 0;
30.
,D
ограничена линиями ху
= 1, у – х = 0, х = 2;
31.
,D
ограничена линиями у
= ех,
х = 0, у = 2.
1.2. Замена переменных в двойных интегралах
Задача вычисления двойного интеграла зачастую связана с необходимостью замены переменных. Рассмотрим двойные интегралы в полярных координатах.
Криволинейные координаты на плоскости. Рассмотрим непрерывно дифференцируемые функции u и v прямоугольных декартовых координат х и у:
u = (x, y), v = (x, y). (12)
Предположим, что уравнения (12) однозначно разрешимы относительно х и у:
x = 1(u, v), y = 1(u, v), (13)
где 1(u, v), 1(u, v) – непрерывно дифференцируемые функции u и v.
Придавая поочередно u и v различные (возможные для них) постоянные значения, получаем два семейства линий на плоскости (рис. 21); эти линии называются координатными линиями. Положение точки М на плоскости определяется парой чисел (х, у) или парой чисел u, v, где u и v выражены формулами (12). Пара чисел u, v называется криволинейными координатами точки М на плоскости.
у
v
= const
М
u
=
const
0
х
Рис. 21
у
=
const
у
x
= const
y
= const
r
= const
х
0
х
Рис. 22
Рис. 23
Замена переменных в двойных интегралах. Если непрерывно дифференцируемые функции (13) устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости Оху и точками области плоскости Ouv (рис. 24), то
y
v
(u,
v)
(х,
у) D
0
x
0
u
Рис. 24
где J(u, v) – функциональный определитель Якоби (или якобиан),
.
Замену переменных в двойном интеграле рекомендуется производить так, чтобы упрощались подынтегральное выражение и область интегрирования.
Двойные интегралы в полярных координатах. В случае перехода к полярным координатам x = cos, y = sin формула (14) принимает вид
,
(15)
так как модуль функционального определителя в этом случае
.
Если
область
(рис. 25 – 27) ограничена лучами, образующими
с полярной осью углы 1
= ,
2
=,
и кривыми
,
,
то
.
(16)
Если область охватывает начало координат, то
.
2()
В1
В2
2() В В
=()
1()
А2
А1
1() А А
0
0
0
Рис. 26
Рис. 27
Рис. 25
Пример
13. Вычислить
,
где область
- круговой сектор, ограниченный линиями
= 0,
,
= 2 (рис. 28).
у В
Е
у
D
0
1 2 х
А 0
С х
Рис. 28
Рис. 29
Применим
формулу (16). В данном случае
,
,1()
= 0, 2()
= 2. Указанный
круговой сектор – частный случай области
,
точки А1
и В1
совпадают с точкой
О (рис. 27).
Пример
14. Вычислить
,
где область
ограничена окружностями
= а,
= 2а
cos
и лежит вне первой окружности (рис. 29,
область АВС).
Область
имеет вид, изображенный на рис. 26 (частный
случай области А1А2В1В2,
изображенной на рис. 25, точки А1
и А2
совпадают, точки В1
и В2
– также). Найдем пределы интегрирования.
Выясним, в каких границах меняется угол
,
для чего определим координаты точек А
и В,
являющихся точками пересечения данных
окружностей. Решая систему уравнений
= а,
= 2а
cos
,
находим а =
2а
cos
,
откуда
,
,
.
Итак,
,
.
При
фиксированном
из указанного промежутка
будет меняться от 1
= а до 2
= 2а
cos
(луч ОЕ,
соответствующий данному значению ,
пересекает первую окружность в точке
D,
вторую – в точке Е).
Следовательно, 1()
= а, 2()
= 2а
cos
.
Таким образом, по формуле (16) получаем
Пример
15. В двойном
интеграле
,
гдеD
ограничена окружностью х2
+ у2
= 1 и прямой
х + у = 1,
перейти к полярным координатам и
расставить пределы интегрирования в
том и другом порядке.
Область интегрирования является сегментом круга х2 + у2 = 1, отсекаемым прямой х + у = 1 (рис. 30). В прямоугольных декартовых координатах данный двойной интеграл сводится к повторному
.
у
у
у
= х
1 В
А
А D
0
В
E
С
0
О
х
0
1
х
(х2+у2)2=2а2ху
Рис. 30
Рис. 31
Перейдем
к полярным координатам х
=
cos,
у =
sin.
Напишем уравнения линий, ограничивающих
область D,
в полярных координатах. Уравнение
окружности х2
+ у2
= 1 перейдет
в уравнение
= 1, уравнение
прямой х +
у = 1 примет
вид (cos
+ sin)
= 1 или
,
т.е.
.
Угол
меняется от 0 до
.
При фиксированном значении угла
соответствующий лучОВ
пересекает границы области в точках А
и В
(сначала в точке А,
принадлежащей прямой, затем в точке В,
принадлежащей окружности), т.е.
меняется от
до
.
Следовательно,
.
Поменяем
порядок интегрирования в данном
интеграле. Пределы интегрирования можно
установить следующим образом. Зададим
такое значение
= 0,
чтобы окружность радиуса 0
проходила внутри области D.
Она пересечет хорду сегмента в точках
С
и D,
значения координаты
для которых определяются из уравнения
хорды
.
Полагая в этом уравнении
= 0,
получаем
,
.
Эти
значения и являются пределами переменной
во внутреннем интеграле, причем индекс
при
можно опустить.
Во внешнем интеграле
будет меняться
от наименьшего значения
,
равного длине отрезкаОЕ,
до
= 1.
Таким образом,
.
Пример
16. Перейдя
к полярным координатам, вычислить
,
где областьD
ограничена линиями у
= х,
и дугой окружностих2
+ у2
= 8, лежащей
в первой четверти.
Применим формулы (15), (16), предварительно выразив уравнения границ области и подынтегральную функцию в полярных координатах. Так как х = cos, у = sin, то уравнения границ области будут:
;
;
.
Подынтегральная
функция
;
вместоdxdy
нужно подставить dd:
Замечание 8. Вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах сопряжено с гораздо большим объемом вычислительной работы.
Пример
17. Перейдя
к полярным координатам, вычислить
,
где областьD
ограничена линиями
,
(x
> 0, y
< x).
Область интегрирования ограничена дугой лемнискаты Бернулли и отрезком прямой у = х (см. рис. 31, область ОАВ).
Границы области в полярных координатах х = cos, у = sin:
,
,tg
= 1;
пределы
интегрирования:
;
подынтегральная
функция
.
По формуле (16) получаем
.
Вычислим внутренний интеграл:
Так
как
,
то
,
поэтому
Следовательно,
.
Пример
18. В двойном
интеграле
,
где областьD
ограничена линиями х
= 0, у
= 0, х
+ у = 2, перейти
к новым переменным u,
v
по формулам:
,
.
(17)
Найдем функции 1(u, v), 1(u, v), определенные формулами (13), т.е. выразим из уравнений (17) х и у через u, v:
,
.
(18)
Область D плоскости Оху при преобразовании (18) перейдет в некоторую область плоскости Ouv, границы которой будут: u = 0, u = 2, v = 0, v = 2. Эти равенства получены из уравнений х = 0, у = 0, х + у = 2 и формул (18). Действительно, если х = 0, то u(2 – v) = 0, откуда u = 0, v = 2; если у = 0, то u = 0, v = 0; если х + у = 2, то u = x + y = 2, u = 2. Область в плоскости Ouv является прямоугольником (рис. 32).
у
v
2
2
D
1
1
0
1 2 х
0
1 2 u
Рис. 32
Найдем выражение для якобиана преобразования (18). Так как
,
,
,
,
то
.
Таким образом, в соответствии с формулой (14)
,
где
.
Пример
19. В двойном
интеграле
,
где областьD
– квадрат, ограниченный прямыми х
+ у = 1, х
- у = 1, х
+ у = 3, х
- у = -1 (рис.
33).
у
3
х
- у = -1
v
1
х
+ у = 1
х
- у = 1
D
1
0
1 3 u
х+
у =3
0
1 3 х
-1
Рис. 33
Рис. 34
Полагаем
x+
y
= u,
x
– y
= v,
откуда
,
.
Тогда якобиан преобразования
,
т.е.
.
Следовательно,
.
Так как область
также является квадратом (рис. 34), то
