2. Асимптотическая несмещенность.

Определение 2. Оценка * неизвестного параметра  называется асимптотически несмещенной, если Е_*  при всех   .

Оценка из предыдущего примера b^*₁ не является асимптотически несмещенной, а оценки b^*₂ и b^*₃ являются асимптотически несмещенными.

3. Состоятельность

Определение 3. Оценка * неизвестного параметра  называется состоятельной, если

*  при п  .

Проверим состоятельность вышеприведенных оценок.

по закону больших чисел, отсюда следует, что

т.е. b^*₁ не является состоятельной.

Теперь,

так как 1 —/b < 1. Следовательно, оценка b^*₂— состоятельная оценка. Далее, поскольку

по закону больших чисел, поэтому b^*₃— состоятельная оценка.

4. Асимптотическая нормальность

Определение 4. Оценка, * неизвестного параметра  называется асимптотически нормальной с коэффициентом ² , если имеет место

Отметим, чтоb^*₁ и b^*₂ — не являются асимптотически нормальными (доказательство приводить не будем). Рассмотрим оценку b^*₃..

По центральной предельной теореме,

поскольку

Итак, мы получили, что b^*₃ — асимптотически нормальная оценка с коэффициентом .

Задачи к 3.3

1. Имеются следующие результаты выборок, извлечённых из нормально распределённой генеральной совокупности:

n = 9; ∑X_i = 36; ∑( X_i -)² = 288; n = 16; ∑X_i = 64; ∑( X_i -)² = 180;

n = 25; ∑X_i = 500; ∑ = 11400.

Что является лучшей оценкой средней арифметической, дисперсии, среднеквадратического отклонения и среднеквадратического отклонения выборочных данных?

2. Найти несмещённую оценку дисперсии случайной величины X на основании данного распределения выборки:

Xi	1	5	6	8
ni	6	4	7	3

3.4. Методы получения оценок

3.4.1. Метод моментов

Метод моментов был предложен известным английским статистиком К.Пирсоном и отличается простотой получения оценок. Суть этого метода заключается в приравнивании друг другу теоретических и выборочных моментов.

Пусть X₁, X₂, …, X_n выборка объема п из семейства распределений {р_(t),   }. Пусть  = (₁, ₂,..., _k)—неизвестный параметр, и предположим, что существуют первые k моментов у случайной величины  с распределением р_(t): _i = Еⁱ, i = 1,2,...k. С помощью выборки X₁, X₂, …, X_n, мы можем вычислить первые k выборочных моментов: a_i = 1/nⁿ_j=1 ,i = 1,2,..., k.

Составим систему уравнений, приравнивая соответствующие теоретические и выборочные моменты:

Решение этой системы * = (^*₁,..., ^*_k) и будет оценкой, полученной по методу моментов.

Отметим, что можно составить и систему уравнений, приравнивая соответствующие теоретические и выборочные центральные моменты:

и решив эту систему, получим оценку * = (^*₁,..., ^*_k) по методу моментов.

Пример. Пусть X₁, X₂, …, X_n выборка из показательного распределения Г_,1 с плотностью распределения

Известно, чтоE_X₁ = 1/. Так как а₁ = E_X₁ — момент порядка 1, то  = 1/ а₁. По определению, оценкой ^*₁ неизвестного параметра  по методу моментов будет следующая оценка:

По закону больших чисел

Сравнив моменты второго порядка₂ = Е² = 2/² и a₂ = 1/nⁿ_i=1 X²_i получим:

Отсюда

По методу моментов можно найти еще одну оценку^*₃ :

отсюда = 1/ и по методу моментов получаем оценку

где s - выборочное стандартное отклонение.