Семестр_1.1 / Лекция 7 13_10_11(Конические сечения)

Лекция № 6

Тема: Эллипс, гипербола, парабола как конические сечения.

Данные линии 2–го порядка могут быть получены сечением прямого кругового конуса плоскостями. Поэтому кривые эти называют коническими сечениями.

Рассмотрим сечения конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Если плоскость пересекает лишь одну полость конуса, не будучи параллельной ни одной из образующих, то кривая полученная в сечении будет эллипсом.

Если же секущая плоскость будет параллельна одной из образующих конуса, то кривая, полученная в сечении, будет параболой.

В том случае, когда плоскость пересекает обе полости конуса, кривая, получающаяся в сечении будет гиперболой.

Директрисы эллипса, гиперболы, параболы.

Рассмотрим фигуру эллипса, причём – большая полуось, –малая полуось, –половина фокусного расстояния:

; . ; . Если –эксцентриситет эллипса, то ,

т.к.

Аналогично показывается, что: .

Рассмотрим прямую линию: . Она параллельна оси Oy:

Т.к. . Из этого равенства видно, что если принять , то отношение: для всех . Аналогично: , но уравнение левой директрисы есть прямая: .

Две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на расстоянии, равном от его центра, называются директрисами эллипса. Они обладают свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная , т.е. .

Для гиперболы имеем: . Прямые , перпендикулярные фокальной оси и расположенные на расстоянии от её центра, называются директрисами гиперболы, обладающие свойством: отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина, равная значению .

Уравнение прямой, являющейся директрисой для параболы, является: . Т.о. для кривых 2–го порядка, имеем:

Эллипса: ;

Параболы: ;

Гиперболы: .

Уравнение конического сечения в ПСК

Если принять за полюс один из фокусов, за полярную ось–прямую, совпадающую с фокальной прямой, то получим уравнение линии 2–го порядка в полярной системе координат:

. Причём при различных значениях получаем различные линии. При этом - ордината точки пересечения линии с соответствующей осью декартовой системы координат,

3