Ргз фурье / 5

Задача №2

Дана Т – периодическая функция f(t)

1. Обосновать возможность разложения f(t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t).

Данная функция f(t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:

• Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода

• Монотонна либо имеет конечное число максимумов и минимумов

Ряд Фурье сходиться на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f(t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t₀ разрыва первого рода функции f(t) сумма ряда Фурье равна данная функция f(t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.

Признак Ляпунова: Если Т – периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям для кусочно-непрерывна и интегрируема с квадратом, то ряд Фурье сходиться среднеквадратично к f(t).

2. Построить график суммы ряда Фурье.

3. Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно:

б) вычислить коэффициенты ряда Фурье.

Коэффициенты ряда Фурье

Тригонометрическое разложение ф-ии в ряд Фурье

4. Построить амплитудный и фазовый спектры функции.

5. Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.

Чтобы определить число гармоник, содержащих в сумме не менее 90% энергии, сначала рассчитаем энергию вносимую каждой гармоникой в отдельности по следующей формуле:

Вклад гармоник в энергию

6. Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f(t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания.

Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по следующей формуле:

7. Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f(t), взяв число гармоник, определённых в пункте №5.

8. Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f(t).

Задача №3

Для функции, заданной на конечном интервале, построить периодическое продолжение заданным образом. [0,2] (чётное)

1. Обосновать возможность разложения f(t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t).

Данная функция f(t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:

• Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода

• Монотонна либо имеет конечное число максимумов и минимумов

Ряд Фурье сходиться на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f(t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t₀ разрыва первого рода функции f(t) сумма ряда Фурье равна данная функция f(t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.

Теорема Вейерштрасса: если Т – периодическая функция f(x) на каком-либо замкнутом интервале. Например [-T/2,T/2] удовлетворяет условиям: непрерывности и f(-T/2)=f(T/2), то тригонометрический ряд Фурье сходиться к f(x) равномерно.

2. Построить график суммы ряда Фурье.

3. Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно:

б) вычислить коэффициенты ряда Фурье

Коэффициенты ряда Фурье

Тригонометрическое разложение ф-ии в ряд Фурье

4. Построить амплитудный и фазовый спектры функции.

5. Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.

Вклад гармоник в энергию

6. Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f(t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания.

Среднеквадратичная ошибка

7. Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f(t), взяв число гармоник, определённых в пункте №5.

8. Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f(t).