3Линейка / Задачник-1 / Глава 3(2)

.

Осуществляя обратный ход в вычислительной схеме Гаусса, рассматриваем сначала первый столбец свободных членов, соответствующий а затем второй, полученный при В результате приходим к тому, что:

и .

Соотношения будем использовать для вычисления и проверки полученных результатов:

3.5.1. Укажите, какие из заданных множеств являются подпространствами действительных линейных пространств. Найдите один из базисов и размерность каждого из этих подпространств:

все векторы плоскости, каждый из которых параллелен либо оси , либо оси ;

все векторы плоскости, одинаково направленные с осью ;

все векторы из , сумма координат каждого из которых равна ;

все векторы из , у которых первая и последняя координаты равны между собой;

все векторы из вида , где и - действительные числа;

все симметричные матрицы порядка ;

все кососимметричные матрицы порядка (квадратная матрица называется кососимметричной, если для любых ).

3.5.2. Что представляют собой сумма и пересечение следующих подпространств и пространства всех действительных квадратных матриц порядка :

- пространство симметричных матриц (см. задачу 3.5.1 ), - пространство верхних треугольных матриц;

- пространство симметричных матриц, - пространство кососимметричных матриц (см. задачу 3.5.1 ).

3.5.3. Найдите какие- либо базисы суммы и пересечения подпространств

и арифметического векторного пространства строк :

3.5.4. Докажите, что

сумма двух линейных подпространств и тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора;

сумма двух линейных подпространств и тогда и только тогда будет прямой суммой, когда

3.5.5. Докажите, что , где и ;

3.5.6. Проверьте, что линейные подпространства и , натянутые на системы векторов и соответственно, дают в прямой сумме все пространство и найдите разложение вектора по этим подпространствам.

3.5.7. Докажите, что пространство всех действительных квадратных матриц порядка является прямой суммой подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц.

3.5.8. Докажите, что для любого подпространства линейного пространства найдется дополнительное подпространство такое, что . Единственным ли образом определяется дополнительное подпространство для данного ?

3.5.9. Для подпространства

найдите два различных дополнительных подпространства в .

49