ОБЫКНОВЕННЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Состояние системы удовлетворяет уравнению

, , (5.1)

– оператор дифференцирования, , ;

– переменные коэффициенты, ;

– решение уравнения.

Физические законы в областях механики, гидро- и аэродинамики, электромагнетизма, квантовой механики приводят к этому типу уравнений, меняются лишь функции коэффициентов.

Решениями таких уравнений являются специальные функции математической физики, образующие ортонормированные базисы функций:

1. Классические ортогональные полиномы;

2. Сферические функции;

3. Цилиндрические функции;

4. Гипергеометрические функции.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит дифференцирование только по одному аргументу в противоположность уравнению в частных производных.

Линейное уравнение содержит и ее производные в первой степени, что обеспечивает выполнение принципа суперпозиции – разные состояния не влияют друг на друга и при наложении складываются. Если и – решения, то – также решение.

Порядок уравнения равен наибольшей кратности дифференцирования .

Однородное уравнение не содержит слагаемого, свободного от , т. е. описывает систему саму по себе, без внешних источников и возмущений.

Частные решения. Решение однородного уравнения определяется с точностью до постоянного множителя. Уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения и , причем .

Общее решение – линейная комбинация частных решений

с постоянными с₁ и с₂ удовлетворяет (5.1) согласно принципу суперпозиции.

Единственность решения достигается нахождением с₁ и с₂ из дополнительных условий, накладываемых на решение на границах интервала определения аргумента в точках А и B.

Однородное граничное условие для точки А имеет вид

, (5.2)

, – параметры.

Пример:

Уравнение колебаний струны

, ,

– смещение из положения равновесия в точке x.

Условия:

– конец струны закреплен;

– свободный конец;

– упруго связанный конец.

Задача Штурма–Лиувилля – решить (5.1) с граничными условиями (5.2) и вещественными и .

Методы решения:

1) Точное решение методом факторизации;

2) Приближенное решение путем разложения решения в степенной ряд по аргументу и/или по малому параметру.

Алгоритм решения МетодОм факторизации

Уравнение

(5.1)

рассматривается как уравнение

, (5.3)

на собственную функцию для линейного дифференциального оператора

.

В (5.3)

– собственное значение для функции ;

– порядок решения.

Метод факторизации выражает оператор второго порядка

через лестничные операторы первого порядка дифференцирования:

– оператор рождения;

– оператор уничтожения.

Решение имеет вид

,

где – функция вакуума. Метод факторизации используется далее для уравнений гипергеометрического типа и обобщенного гипергеометрического типа, имеющих важные практические применения.

УРАВНЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА

Если в (5.1) – полиномы, соответственно, второго, первого и нулевого порядков, то получаем гипергеометрическое уравнение

, (5.4)

где

; ;

– параметры.

УравнениЕ обобщенного

гипергеометрического типа

, (5.5)

где

; ,

,

,

, (5.6)

выражаются через параметры: .

При

,

получаем и уравнение (5.5) переходит в (5.4).

Решение в форме Родрига

Бенжамен Оленд Родриг в 1814 г. получил решение уравнения Лежандра в форме кратной производной от некоторого выражения.

Для уравнения

, (5.5)

решение в форме Родрига

, (5.7)

где – постоянная;

;

;

– весовая функция. (5.8)

Для уравнения

, (5.4)

,

тогда из (5.7) решение

. (5.9)

Граничные условия

(5.10)

доопределяют параметры или A, B.

Условие ортонормированности

Набор решений

,

образует базис с условием ортонормированности

. (5.11)

При :

, (5.12)

При :

. (5.13)

Производящая функция

Используется для получения рекуррентных соотношений и складывается из решений всех порядков

. (5.14)

Для уравнения обобщенного гипергеометрического типа (5.5)

, (5.15)

где ξ находится из

. (5.16)

Двузначность решения устраняется дополнительным условием

.

Из (5.16) находим

, ;

, ;

. (5.17)

Для уравнения гипергеометрического типа (5.4) , и из (5.15) получаем

. (5.18)

Алгоритм решения уравнения

1. Оцениваем уравнение – гипергеометрическое (5.4), или обобщенное гипергеометрическое (5.5). В других случаях приводим уравнение к стандартному виду путем замены аргумента и/или функции.

2. Сравниваем коэффициенты уравнения с коэффициентами в (5.5) или в (5.4) и находим функцию , параметры , функции и .

3. Граничные условия (5.10) доопределяют δ и η, или A и B.

4. Весовую функцию находим из (5.8).

5. Решение уравнения получаем из (5.7) или (5.9).

6. Условие ортонормированности находим из (5.11).

7. Вычисляем из (5.16–17). Из (5.15) или (5.18) находим производящую функцию.