Гильбертово пространство с непрерывным базисом
Базис
ортов
,
где
;k
– непрерывно,
.
Размерность пространства бесконечная.
Условие ортонормированности базиса
,
(0.11)
где
– дельта-функция.
Разложение функции по базису
.
(0.12)
Спектр непрерывный
.
(0.13)
Совпадение спектров функций означает равенство функций.
Подстановка (0.12) в (0.13) дает тождество с учетом (0.11) и фильтрующего свойства дельта-функции.
Условие полноты базиса
.
(0.14)
Подстановка (0.13) → (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.
Теорема Парсеваля
(0.15)
доказывается с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).
Преобразование фурье
Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.) представил сложное движение планеты в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам;
Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г.
Бесконечномерный базис гармонических функций
,
;
.
Орт
является решением волнового
уравнения Гельмгольца
,
–плоская
волна
вдоль оси x.
Выполняются:
условие ортонормированности
,
условие полноты
.
Преобразование
Фурье –
разложение функции по базису
,
(1.1)
,
(1.2)
–оператор
Фурье,
действующий на функцию, находящуюся в
,
и дающий функцию, зависящую отk;
–оператор
обратного преобразования Фурье,
дающий функцию, зависящую от x;
–Фурье-образ
или спектр функции
;
k
и x
– Фурье-сопряженные
переменные,
– безразмерная;
–ядро
преобразования, не зависящее от
преобразуемой функции.
Оптическое преобразование Фурье
Спектрометр
– анализатор частот Анализатор длин
волн
На призму с дисперсией падает Когерентная волна падает
волна с зависимостью на плоский транспарант с
от
времени
.
коэффициентом пропускания
.
Преобразование призмой: Преобразование линзой:
время → частота, координата → волновое число,
,
,
– распределение амплитуд
– распределение амплитуд
по углам и частотам. в фокальной плоскости
,
,
Теоремы Фурье
Линейность преобразования
.
(1.5)
Масштабное преобразование аргумента функции
.
(1.6)
Доказательство: Из (1.1)
.
Функция Гаусса
,
.
При
масштабном преобразовании
с
– сжатие по x
в 2 раза (переход от сплошной линии к
пунктирной), растяжение по k
и уменьшение амплитуды в 2 раза.
Инверсия аргумента
Из
(1.6) при
.
(1.7)
Четности функции и образа совпадают.
Теорема о частотной полосе
,
(1.8)
где дисперсии
;
.
Уменьшение
пространственной протяженности функции
приводит к увеличению ее частотной
протяженности 
,
и наоборот.
Равенство в (1.8) выполняется для функции Гаусса
,
,
,
,
.
Смещение аргумента
.
(1.9)
Доказательство: Из (1.1)
.
Фазовый сдвиг
.
(1.10)
Доказательство: Из (1.1)
.
Комплексное сопряжение
,
(1.11)
Доказательство: Из (1.1)
,
.
Из (1.7) и (1.11)
,
получаем:
если
– вещественная и четная, то
вещественная;
если
– вещественная и нечетная, то
мнимая;
если
– мнимая и четная, то
мнимая;
если
– мнимая и нечетная, то
вещественная.
Теорема Парсеваля
.
(1.14)
В физике выражает закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
=
.
Обобщенная теорема Парсеваля
.
(1.15)
Ортонормированность базиса и его образа
Если функции ортонормированны
,
(1.16)
то их фурье-образы также ортонормированны
.
(1.17)
В
(1.14) полагаем
и
.
Интегральная теорема – прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию
,
.
(1.20)
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
,
где использовано
.
Следовательно, для непрерывной функции
,
.
(1.20а)
Теорема
о парах функций
и
Если
,
то
.
(1.21)
Доказательство:
Из (1.1) с заменой аргумента
.
Использовано
сравнение с (1.2) после замены:
,
.