Методы математической физики
Краснопевцев Евгений Александрович
Основная тема курса
Ортонормированные базисы функций
Практическая значимость курса – разложение функций по ортонормированному базису упрощает решение физических и технических задач, результаты получают наглядный физический смысл.
Разделы курса
Преобразование Фурье.
Сингулярные функции:
дельта-функция,
гребенчатая функция,
функция Хевисайда,
функция знака,
прямоугольная функция,
функция sinc,
треугольная функция.
Гамма- и бета-функции Эйлера.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Классические ортогональные полиномы:
Эрмита,
Лагерра,
Лежандра,
Чебышева.
Сферические функции.
Функции Бесселя.
Функция Грина.
Дифференциальные уравнения с частными производными.
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
1. Индивидуальные задания 1, 2, 3.
2. Коллоквиум.
3. Экзамен для группы РН, зачет для групп РМ, РМС, РП, РЭ.
Литература
Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. 53
Ортонормированные базисы функций. Изд. НГТУ, 2008. К 782
Дополнительная литература
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.
Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
Ортогональные координаты упрощают решение задачи, результаты выражаются через скалярные проекции и получают наглядный смысл. Метод применяется во всех разделах физики и техники.
Декартовы ортогональные координаты ввел Рене Декарт (1596–1891) в 1637 г.
ВекторнЫе пространствА
Векторное пространство – множество векторов, для которых определено скалярное произведение.
3-мерное пространство
Базис ортов
Произвольный трехмерный вектор разлагается по трем ортогональным единичным векторам – ортам, образующим базис:
,
.
Операция разложения использует скалярное произведение.
Скалярное произведение векторов
,
,
.
Если
,
то вектора ортогональны
.
Норма
вектора
.
Вектор
нормирован, если
.
Условие ортонормированности базиса
Вектора базиса взаимно ортогональны и нормированы
.
(0.1)
Символ Крόнекера
(0.2)
ввел Леопольд Крóнекер (1823–1891) в 1866 г.
N-мерное пространство
Базис
,
,
где N – размерность пространства – число независимых векторов, определяющих положение произвольной точки. Базис ортонормирован
.
Разложение
вектора на
составляющие 
.
(0.3)
Проекция
вектора на орт 
.
(0.4)
Теорема Пифагора
– квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций на ортогональные оси.
От пространства векторов переходим к пространству функций.
Гильбертово пространство с дискретным базисом
Гильбертово пространство – множество комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение.
Базис ортов
,
,
N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;
–комплексная,
квадратично интегрируемая функция,
.
Скалярное произведение
,
(0.5)
где
– вещественнаявесовая
функция;
– комплексно сопряженная функция.
Комплексное сопряжение
,
,
,
,
,
,
–формула
Эйлера,
.
Условие
ортонормированности базиса
.
(0.6)
Разложение функции по базису
,
(0.7)
где
– множество проекций, илиспектр
функции
f(x):
.
(0.8)
Подстановка (0.8)→(0.7) дает тождество
,
если базис полон.
Условие полноты базиса
,
(0.9)
где
–дельта-функция,
–фильтрующее
свойство.
Теорема Парсеваля – аналог теоремы Пифагора в пространстве функций
,
(0.10)
где
,
.
Теорема доказывается подстановкой
(0.7) и использованием (0.9).