Преобразование Ганкеля нулевого порядка
Система
с осевой симметрией описывается функцией
,
не зависящей от угла.
В разложении по углу
,
(8.93)
остается
слагаемое
и преобразование Фурье–Бесселя
,
(8.100)
переходит в преобразование Ганкеля нулевого порядка
,
.
(8.101)
Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:
1)
Кольцевая функция
радиусомa
,
.
(8.102)
Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка.
2)
Кулоновская функция
с учетом условия нормировки
,
(8.14а)
дает
.
(8.103)
Образом Ганкеля для кулоновской функции является кулоновская функция.
3) Постоянная
,
,
(8.104)
где использовано (8.49), (2.2), (8.13). Образ Ганкеля для постоянной выражается через дельта-функцию.
4) Круговая функция равна единице в круге радиусом a и нулю за его пределами
(8.105)
(от лат. circularis – «круговой»). Используя
(П.9.1)
при
,
,
,
и теорему о парах функций,находим
,
.
(8.106)
Образ Ганкеля для круговой функции выражается через функцию Бесселя первого порядка.