Инверсия порядка

Из

. (8.19)

получаем

. (8.22)

Инверсия аргумента

Из интегрального представления Пуассона (8.5)

получаем

. (8.23)

Из (8.22) и (8.23)

. (8.25)

Производящая функция

К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)

,

где

,

применяем обратное преобразование Фурье (1.48)

.

Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x:

(8.26)

В (8.26) заменяем

, ,

,

находим производящую функцию

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

1. В

(8.26)

выделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

получаем

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

2. В

(8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

,

,

.

В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

,

.

При из (8.32) и (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем на случай произвольного порядка

. (8.36)

Замена x на bx дает

. (8.36а)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и

, (8.36)

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

. (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции

. (8.41)

6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции

. (8.43)

Частные соотношения

Из

(8.39)

при

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44):

,

,

,

,

,

при

,

, (8.45)

,

,

,

,

. (8.46)

Условие ортонормированности

Набор

, ,,

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство:

Записываем уравнение Ломмеля

, (8.2)

где

, (8.3)

при ,,идля функцийи

,

.

Умножаем первое равенство на xv, второе – на xu и вычитаем результаты

.

Преобразуем левую сторону

.

Интегрируем по x от 0 до ∞

. (8.47)

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

тогда

.

В результате

.

Учитываем

, (2.4)

,

тогда

,

Для нахождения интегрируем равенство пор от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки

. (8.14)

Получаем

, ,

и доказано (6.48).

При не нулевой вклад в

, . (8.48)

дает только и, тогда

, . (8.49)

Доказательство:

Умножаем (8.49) на , где, и интегрируем поk от 0 до ∞

.

Меняем порядок интегрирований и учитываем

,

тогда

.

Внутренний интеграл дает (8.48)

,

и получаем тождество.