ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

,

Моделирует точечное возмущение единичной величины. Множество функций

, ,

образует ортонормированный бесконечномерный базис.

– обобщенная функция, ее задание значениями во всех точках аргумента неоднозначно:

(2.1)

– функция равна нулю во всех точках кроме , где ее аргумент равен нулю, и там функция бесконечная.

Доопределяет функцию интегральное условие нормировки

, . (2.2)

Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a.

Функция четная

,

,

поэтому

.

Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в.

Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925)

Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа для теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет. Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда.

Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. – один из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН.

Сергей Львович Соболев (1908–1989)

Свойства ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

Фильтрующее свойство

Для гладкой функции из (2.1) получаем

. (2.3)

При :

,

. (2.4)

Выполняем и находим

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем: , , получаем условие ортонормированности базиса с непрерывным спектром

. (2.7)

Масштабное преобразование аргумента

,

, (2.8)

Доказательство:

Интегрируем по интервалу , где , произведение дельта функции с гладкой функцией . Заменяем переменную , используем фильтрующее свойство и сравниваем исходное и конечное выражения:

.

Сравнение начального и конечного выражений дает (2.8).

Упрощение аргумента

Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство:

Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна.

Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу . Остаются вклады только в окрестности точек

.

В малой окрестности разлагаем в ряд Тейлора

,

и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми

.

Используем (2.8)

,

тогда

.

Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9).

Дифференцирование

Четности

,

,

,

,

.

Выполняются фильтрующие свойства

, , (2.10)

, (2.11)

,

. (2.13)

Доказательство (2.10):

Интегрируем (2.10) по частям

,

где

, ,

, ,

тогда

,

Свертка

. (2.14)

Использовано

и (2.13).

Интегральное представление

Выполняется

. (2.24)

Во втором и третьем равенствах использована замена аргумента и формула Эйлера

.

Дифференцируем (2.24)

. (2.25)

Доказательство первого равенства в (2.24)

Вычисляем

,

.

Следовательно, .

Выражения в виде пределов

, (2.29)

, (2.30)

. (2.33)

Фурье-образ

,

, (2.35)

,

, (2.36)

,

. (2.37)

Доказательство:

Учитываем

,

фильтрующее свойство δ-функции и теоремы Фурье.

Дельта-функция в двумерном пространстве

Декартовы координаты: , .

Учитываем независимость x и y, записываем двумерную δ-функцию

. (2.39)

Выполняется нормировка

.

Интегральное представление

, (2.40)

где учтено

, ,

.

Переходим к полярным координатам.

Полярные координаты:

, ,

,

якобиан преобразования

.

Полагаем

.

Ищем , используя условие нормировки

.

Находим

, , .

В результате

, (2.41)

, .

В случае центральной симметрии , тогда

.

Нормировка

,

с учетом

дает

,

. (2.42)

Дельта-функция в трехмерном пространстве

Декартовы координаты: , .

. (2.44)

Интегральное представление

. (2.45)

Сферические координаты: ,

, , ,

,

,

,

, (2.46)

, , , .

В случае центральной симметрии , тогда .

Нормировка

,

с учетом

, ,

дает

,

. (2.50)

Гребенчатая функция

(2.53)

Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры.

При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит в гребенчатую функцию.

Из (2.53)

,

с учетом

(2.8)

получаем

. (2.54)

Свойства

Функция четная

,

периодическая

,

период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает

. (2.55)

Фурье-образ

Для периодической функции с периодом L Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье

, (1.47)

, (1.49)

Для гребенчатой функции с периодом получаем

,

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ

. (2.56)

Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция.

Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента получаем

. (2.59)

Увеличение периода гребенчатой функции () уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра.

Ряд Фурье

Используем

, (1.48)

.

Для , получаем

. (2.57)

Формула суммирования Пуассона

. (2.60)

Сумма значений функции в целочисленных точках равна сумме значений ее спектра в целочисленных точках, если ряды существуют.

Доказательство:

Выражение

(2.57)

подставляем в интеграл и с учетом фильтрующего свойства дельта-функции получаем

.

Обобщенная формула суммирования Пуассона

, (2.61)

Доказательство:

Выражение

, (2.57)

подставляем в интеграл . Для левой и правой частей (2.57) получаем левую и правую части (2.61)

,

.

Аналогично доказывается обратная формула суммирования

. (2.61а)

Произведение гребенчатой и гладкой функций

Подставляем гребенчатую функцию с периодом a

, (2.54)

используем фильтрующее свойство дельта-функции

, (2.3)

получаем

. (2.67)

Произведение гребенчатой и гладкой функций дает модулированную гребенчатую функцию.

Фурье-образ

Используем (2.67) и фильтрующее свойство дельта-функции

. (2.68)

В формуле суммирования Пуассона (2.61а)

заменяем , и находим

. (2.61б)

Сравнение (2.68) и (2.61б) дает

. (2.68)

Спектр произведения гребенчатой функции с периодом a и гладкой функции является суммой спектров гладкой функции, сдвигаемых на целое число шагов .

Для ограниченно определенной функции спектр имеет ширину, гораздо меньшую . Тогда для спектр является периодическим повторением спектра с периодом .

Свертка гребенчатой и ограниченно определенной функций

,

является повторением с периодом a

. (2.69)

Если в качестве аппаратной функции преобразователя использовать гребенчатую функцию, то подавая на вход ограниченно-определенный сигнал, получим на выходе периодическое повторение этого сигнала.

Доказательство:

Используем (2.69) и

, (2.54)

. (2.14)

Фурье-образ

(2.70)

– спектр функции , повторяющейся с периодом а, имеет вид гребенчатой функции с периодом , модулированной .

Доказательство (2.70): Для

используем теорему Фурье о свертке

, (1.24)