Методы математической физики
Лектор – д.т.н., профессор
Краснопевцев Евгений Александрович
Основная тема курса
Ортонормированные базисы функций
Практическая значимость курса –
разложение функций по ортонормированному базису упрощает решение физических и технических задач,
результаты получают наглядный физический смысл.
Разделы курса
Преобразование Фурье.
Сингулярные функции:
дельта-функция,
гребенчатая функция,
функция Хевисайда,
функция знака,
прямоугольная функция,
функция sinc,
треугольная функция.
Гамма- и бета-функции Эйлера.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Классические ортогональные полиномы:
Эрмита,
Лагерра,
Лежандра,
Чебышева.
Сферические функции.
Функции Бесселя.
Функция Грина.
Дифференциальные уравнения с частными производными.
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
1. Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).
2. Коллоквиум (в конце семестра).
3. Экзамен для группы РН, зачет для групп РМ, РМ7, РП, РЭ.
МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ
|
Число баллов |
Оценка | ||
|
международная |
российская | ||
|
90–100
80–89
70–79
60–69
50–59 |
97–100 93–96 90–92 87–89 |
A+ A A– B+ |
Отлично
|
|
84–86 80–83 77–79 74–76 |
B B– C+ C |
Хорошо
| |
|
70–73 66–69 63–65 60–62 50–59 |
C– D+ D D– E |
Удовлетв. | |
|
25–49 0–24 |
25–49 0–24 |
FX F |
Неуд. |
РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ С ЭКЗАМЕНОМ
Группы РН
Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.
|
№ |
Вид деятельности |
Число баллов |
|
1.
2.
3.
4.
5. |
Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)
Посещаемость лекций
Индивидуальное задание 1
Индивидуальное задание 2
Индивидуальное задание 3 |
(0–3) + (0–3) + (0–3)= 0–9
0–10
4–7
4–7
4–7 |
|
6. |
Коллоквиум |
20 |
|
7. |
Экзамен |
0–40 |
Рейтинговая аттестация по дисциплине без экзамена
Группы РМ, РМ7, РП, РЭ
|
№ |
Вид деятельности |
Число баллов |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6. |
Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)
Посещаемость лекций
Индивидуальное задание 1
Индивидуальное задание 2
Индивидуальное задание 3
Коллоквиум
|
(0–5) + (0–5) + (0–5)= 0–15
0–15
5–14
5–14
5–14
30 |
Всего не более 100
Литература
Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. 53
Ортонормированные базисы функций. Изд. НГТУ, 2008. К 782
Дополнительная литература
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.
Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
Ортогональные координаты применяются во всех разделах физики и техники, где используются вектора. В результате:
упрощается решение задачи,
результаты выражаются через проекции,
и получают наглядный смысл.
Декартовы координаты ввел Декарт в 1637 г.
Рене Декарт (1596–1650)
Где
–орты
– единичные, взаимно перпендикулярные
вектора;
–проекции
вектора
;
–скалярное
произведение;
–составляющие
вектора.
ВекторнЫе пространствА
Декартова система координат послужила основой для введения векторного пространства.
Векторное пространство – множество векторов, для которых определено скалярное произведение.
Размерность пространства – число независимых векторов, через сумму которых можно выразить, то есть разложить, произвольный вектор этого пространства.
3-мерное пространство
Базис ортов
Произвольный трехмерный вектор разлагается по трем ортам, образующим базис:
,
.
Скалярное произведение векторов
,
,
.
Если
угол
,
то вектора ортогональны
.
Норма
вектора
.
Вектор
нормирован, если
.
Условие ортонормированности базиса – вектора базиса взаимно ортогональны и нормированы
.
(0.1)
Символ Крόнекера
(0.2)
ввел Крóнекер в 1866 г.
Леопольд Крóнекер (1823–1891)
N-мерное пространство
Базис
,
,
ортонормирован
.
Разложение
вектора на
составляющие 
.
(0.3)
Проекция
вектора на орт 
.
(0.4)
Теорема Пифагора
– квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций на ортогональные оси. Доказывается подстановкой (0.3) и использованием ортонормированности базиса.
Гильбертово пространство
С ДИСКРЕТНЫМ БАЗИСОМ
От пространства векторов переходим к пространству функций.
Гильбертово пространство – множество комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение. Ввел Гильберт в 1910 г.
Давид Гильберт (1862–1943)
Базис ортов
,
,
N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;
–комплексная,
квадратично интегрируемая функция,
определенная на интервале аргумента
.
Скалярное произведение определяется в виде
,
(0.5)
где
– вещественнаявесовая
функция;
– комплексно сопряженная функция.
Комплексное сопряжение
вещественное
число
;
мнимая
единица
,
;
формула
Эйлера
,
,
,
,
.
Формулу получил Эйлер в 1740 г.
Леонард Эйлер (1707–1783)
Комплексное
число
,
;
квадрат
модуля числа
;
.
Условие
ортонормированности базиса
.
(0.6)
Разложение функции по базису
,
(0.7)
где
– множество проекций, илиспектр
функции
f(x).
Проекция
функции
на орт
.
(0.8)
Подстановка (0.8)→(0.7) дает тождество
,
если базис полон.
Условие полноты базиса
,
(0.9)
где
–дельта-функция,
–фильтрующее
свойство.
Теорема Парсеваля – аналог теоремы Пифагора в пространстве функций
,
(0.10)
где
,
.
Теорема доказывается подстановкой
(0.7) и использованием (0.9).
Теорему получил Мари-Антуан Парсеваль (1755–1836) в 1799 г.