Метод преобразования Фурье

Приведем исходное уравнение к более простому виду, выражая решение через фурье-образ по четырем аргументам

, (10.9)

где знак интеграла обозначает четыре интегрирования; в декартовых координатах

,.

Для получения подставляем (10.9) в уравнение (10.2)

.

С учетом

,

,

получаем

,

где

.

Используем свойство дельта-функции (2.4) в виде

, ,

и находим фурье-образ волны

.

Подстановка фурье-образа в (10.9) дает результат, полученный ранее методом разделения переменных:

. (10.8)

Цилиндрические координаты Если краевые условия обладают осевой симметрией, то решение уравнения имеет простейший вид в цилиндрических координатах.

Метод разделения переменных применяем к уравнению Гельмгольца (10.6)

,

где оператор Лапласа в цилиндрических координатах

.

Факторизованное решение

подставляем в уравнение, умноженное слева на , и получаем

.

Уравнение в частных производных распадается на три независимых обыкновенных дифференциальных уравнения

,

,

. (10.10)

Знак минус перед иобеспечивает колебательный характери. Из (10.10) находим

, ,

Целочисленность m следует из условия периодичности по углу

.

Последнее уравнение в (10.10) является уравнением Ломмеля и имеет решение (см. задачу 9.4)

.

Решение уравнения Гельмгольца (10.6) с параметрами k, m, , где , имеет вид

. (10.11)

Общее решение волнового уравнения (10.2) в цилиндрических координатах получаем путем суммирования по всем возможным значениям параметров

.

Для нахождения функции коэффициентов задаем граничное условие при, например, в виде монохроматической волныс определенной проекцией орбитального момента:

.

Последнее равенство удовлетворяется, если

, (10.12)

что следует из свойств дельта-функции, символа Кронекера и условия ортонормированности (8.48).

Сферические координаты Если краевые условия обладают центральной симметрией, то решение уравнения получает простейший вид в сферической системе координат.

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид (7.5) – (7.7):

.

Радиальная и угловые переменные в уравнении Гельмгольца (10.6) разделяются. Решение ищем в виде

,

где – сферическая функция, удовлетворяющая (7.20):

, .

Подстановка решения в (10.6)

дает для уравнениесферических функций Бесселя (8.58)

, (10.13)

тогда . В результате общее решение волнового уравнения (10.2) имеет вид

. (10.14)

При отсутствии зависимости от времени выполняется и вместо (10.13) получаем

.

Решение ищем в виде и дляa получаем уравнение

Его решения идают

,

. (10.15)

Методы математической физики

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ).