Дифференциальные уравнения с частными производными

Уравнение с частными производными содержит дифференцирование по разным аргументам. В частности, для трехмерной системы аргументами являются три координаты и время. К линейным дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка относятся:

уравнение для сферической функции, рассмотренное ранее;

волновое уравнение;

уравнение теплопроводности;

уравнение диффузии.

Исходное уравнение приводится к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям с меньшим числом аргументов путем:

замены координат;

разделения переменных;

преобразования Фурье.

Типы уравнений

Искомая функция

зависит от n – 1 пространственных координат и от времени . Законы физики приводят во многих важных для практики случаях к линейному уравнению в частных производных второго порядка

,

где

.

Выполняется теорема: если коэффициенты при производных первого и второго порядков постоянные, то замена переменных устраняет перекрестные производные второго порядка, а замена функции – первые производные по пространственным координатам.

Получаются следующие типы уравнений, которые не переводятся друг в друга любыми заменами переменных и функции:

гиперболическое – описывает колебания и волны

;

параболическое – описывает теплопроводность и диффузию

;

эллиптическое – описывает стационарное распределение в пространстве, например распределение потенциала, созданное источником:

.

Использованы обозначения:

оператор Лапласа

;

постоянные

a², k;

функция возмущения

.

При уравнение называется однородным.

Однозначность решения требует задания начальных и граничных условий для функции . При:

для гиперболического уравнения задаются начальные условия для функции и для ее первой производной по времени во всех точках пространства

, ;

для параболического уравнения задается начальное условие для функции во всех точках пространства

;

для эллиптического уравнения задаются условия на границе области определения для функции и для ее первых производных по координатам

.

Если система и уравнение обладают симметрией, то решение имеет простейшую форму при использовании системы координат с соответствующей симметрией.

Метод разделения переменных

Для однородного уравнения в частных производных

,

,

метод разделения переменных преобразует уравнение к системе независимых обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод применим к уравнению, у которого производные по разным аргументам находятся в разных слагаемых. Используется факторизация функции

, (10.1)

где каждая функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению.

Частные случаи при

1. Для уравнения

,

где

, ,

решение ищем в виде

.

Подстановка в уравнение, умноженное слева на , дает

.

Слагаемые зависят от разных аргументов, поэтому равенство выполняется, если каждое слагаемое равно постоянной величине

,

и они связаны соотношением

.

Далее решаем независимые обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

.

2. Для уравнения

ищем решение в виде

.

Подстановка в уравнение и деление слева на u дает

.

Равенство выполняется, если

,

.

Последнее уравнение делим слева на и получаем

.

Первые два слагаемых и третье зависят от разных аргументов, тогда

,

.

Исходное уравнение распалось на обыкновенные дифференциальные уравнения

,

,

.