Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Атом протия

1. Ядро – тяжелый протон с зарядом +е. Оболочка – легкий электрон с зарядом –е и массой μ. Считаем, что электрон движется вокруг неподвижного ядра. Электрическое поле ядра сферически симметричное, поэтому используем сферические координаты с центром в ядре.

2. Потенциальная энергия электрона в СГС

, .

3. Кинетическая энергия радиального движения электрона в атоме

,

–радиальный импульс.

4. Кинетическая энергия углового движения определяется орбитальным моментом L

,

–момент инерции электрона;

–орбитальное квантовое число.

5. Полная энергия электрона

.

Для связанного состояния .

6. Выражаем квадрат радиального импульса

.

Уравнение Шредингера

Радиальная часть волновой функции электрона удовлетворяет уравнению

,

Где в сферических координатах

.

Подставляем и получаем

. (6.84)

Переход к безразмерным величинам

1. Вводим боровский радиус

.

2. Заменяем энергию E на безразмерную величину n

,

тогда

.

Далее доказывается, что n квантуется , и спектр энергии дискретный:

–основное состояние,

,

.

Уравнение (6.84)

получает вид

, .

3. Переходим к безразмерной координате x

,

используем

,

,

где

–оператор дифференцирования.

Уравнение умножаем на и получаем

, (6.85)

, .

Требуется найти и доказать целочисленностьn.

Решение методом факторизации

1. Уравнение обобщенного гипергеометрического типа (5.5)

сравниваем с (6.85).

2. Для получаем,,,. Используем

, ,

находим

, ,

, .

Сравниваем и, получаем

:

;

:

;

;

,

,

3. С учетом иполучаем

, ,,

находим

,

,

,

,

.

4. Из (5.8)

находим

.

5. Если кратность дифференцирования –целое не отрицательное число, то применима формула Родрига (5.7)

.

С учетом

,

,

, .

решение

,

где учтено выражение для обобщенного полинома Лагерра

.

В результате

, (6.85а)

,

.

Если – не целое, то нормировкане существует и физическое состояние отсутствует. Это доказывает целочисленность n и квантование энергии связанного электрона.

6. Используем условие ортонормированности (5.11) в методе факторизации

, .

Подставляем

,

,

, ,

,

,

, ,

.

Выбираем из требования

. (6.86)

тогда

.

Из

(6.85а)

получаем

, (6.87)

где

, ,.

Квантовые числа

N – радиальное квантовое число, равно числу нулей радиальной части волновой функции. Возможные значения

n – главное квантовое число, определяет энергию электрона

,

Возможные значения

l – орбитальное квантовое число, определяет модуль момента импульса электрона

.

Возможные значения

–число возможных проекций на ось z орбитального момента. Возможные значения