Разложения функции по полиномам

Функция, определенная при , разлагается по полиномам Чебышева

,

. (6.168)

Используя (6.149) и (6.167)

,

находим коэффициенты

,

,

,

. (6.169)

Аппроксимация полиномом

Исследуемая функция заменяется полиномом. Отклонение полинома от функции не должно превосходить определенного предела для заданного интервала, вне этого интервала отклонение быстро увеличивается.

Полиномы Чебышева первого рода на интервале

,

, при

ограничены значениями . Согласно (6.153)

,

при полиномы возрастают с увеличениемn как геометрическая прогрессия

,

.

Среди всех полиномов степени n, нормированных на одинаковый старший коэффициент, полиномы Чебышева ведут себя экстремально – они наименее отклоняются от нуля на интервале и максимально – вне этого интервала.

Фильтр нижних частот F(,₀)

Фильтр задерживает частоты  выше порогового значения ₀. Идеальный фильтр описывается функцией

Приближается к идеальному фильтру

. (6.172)

При ,– идеальный фильтр.

Фильтр нижних частот: ,и

Чем больше n, тем быстрее уменьшается функция при . Чем меньше, тем ближе к единице коэффициент пропускания сигнала при.