Интегралы с полиномами лежандра

1.

. (П.6.12)

Доказательство:

Упрощаем интеграл, используя рекуррентное соотношение (6.125)

,

тогда

.

Интегралы вычисляем при помощи условия ортонормированности (6.123)

.

Тогда

,

где

.

Аналогично находим

,

где

.

В результате получаем (П.6.12).

2. Доказать условия ортогональности (6.123) и (6.124)

, ;

, .

Доказательство:

Используем уравнение Лежандра (6.115) для и:

,

.

Первое уравнение умножаем на , второе – наи взаимно вычитаем результаты.

Упрощаем первые два слагаемые

.

Из уравнений получаем

.

Интегрируем по интервалу . Первое слагаемое, вычисленное по формуле

,

дает нуль. Находим

.

При ,получаем (6.123).

При ,получаем (6.124).

3. Доказать условие нормировки полиномов Лежандра (6.112)

.

Доказательство:

Подставляем (6.96)

в интеграл и находим

.

Интегрируем по частям, полагая

, .

Свободное слагаемое дает нуль на обоих пределах.

После n-кратного интегрирования по частям получаем

,

где учтено

.

Используем (П.3.9)

,

и получаем условие нормировки полиномов Лежандра (6.112).

4. Доказать условие нормировки присоединенных функций Лежандра (6.123)

.

Доказательство:

В интеграл подставляем формулы Родрига (6.117) и (6.119)

,

,

получаем

.

Интегрируем по частям, полагая

, ,

свободные слагаемые дают нули. Повторяя интегрирование раз, получаем

.

Интеграл вычислен в предыдущем примере

,

в результате

.

Полиномы Чебышева первого рода

, ;– порядок полинома.

Имеют наименьшее отклонение от нуля на интервале и максимальное отклонение за пределами этого интервала по сравнению с другими полиномами того же порядка.

Используются для интерполирования и аппроксимации функций. Интерполирование – построение функции, проходящей через заданные точки. Аппроксимация – замена сложной функции более простой функцией, совпадающей с исходной в ряде точек.

Полиномы исследовал Пафнутий Львович Чебышев (нем. Tschebyschew) в 1854 г.

Уравнение Чебышева

. (6.146)

Является уравнением гипергеометрического типа.

Метод факторизации

1. Сравнение со стандартным уравнением

.

дает

,

, ,,,

, ,

, ,,

,

.

2. Весовая функция

,

.

3. Решение Родрига

дает

.

Полагаем

,

получаем полином Чебышева первого рода

. (6.147)

Из (6.147) находим свойство четности и частные значения

,

,

. (6.148)

4. Условие ортонормированности

, .

Учитываем

,

, ,

,

,

находим

.

Стандартное условие для области определения решения

не работает, поскольку .Метод факторизации не дал ограничения на область определения.

Выбираем область определения

, ,

и используем

,

.

Условие ортонормированности получает вид

(6.149)

где учтено .