Пример 2 Уравнение линейного гармонического осциллятора

.

1. Является уравнением обобщенного гипергеометрического типа поскольку ,,.

2. Сравнение с (5.5)

дает

, ,,

, ,,.

Из (5.6)

, , ,

получаем систему алгебраических уравнений и находим

, ,,

,

.

3. Из (5.10)

следует

, .

4. Из (5.8) получаем

.

5. Из (5.7)

находим

. (П.3.6)

где – полином Эрмита.

6. Из (5.11) и (5.13)

, , ,

с учетом

находим условие ортонормированности

, (П.3.7)

7. Из (5.16)

находим

.

Из (5.15)

подставляя

, ,

получаем

,

. (П.3.8)

Пример 3 Уравнение Лагерра

.

1. Уравнение гипергеометрического типа.

2. Сравнение с (5.4):

, , , , ,

дает

, ,,,,,

, ,.

3. Из (5.10)

получаем

, ,.

4. Из (5.8)

находим

. (П.3.9)

5. Из (5.9)

получаем решение

, (П.3.10)

где обобщенный полином Лагерра,

, .

6. Из (5.11) и (5.13)

, , ,

с учетом

, ,

находим

,

тогда

,

. (П.3.11)

6. Из (5.16)

находим

.

Из (5.17)

с учетом

, ,, ,

получаем

, (П.3.12)

. (П.3.13)

14