ОБЫКНОВЕННЫЕ ОДНОРОДНЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Состояние практически важных систем описывается функцией , которая удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка

, (5.1)

–оператор дифференцирования, ,;

–функции коэффициентов, ;

–решение уравнения, .

Физические законы механики, гидро- и аэродинамики, электромагнетизма, квантовой механики приводят к этому типу уравнений. В зависимости от конкретной системы меняются лишь функции коэффициентов.

Решениями таких уравнений являются специальные функции математической физики, образующие ортонормированные базисы функций:

1. Классические ортогональные полиномы;

2. Сферические функции;

3. Цилиндрические функции;

4. Гипергеометрические функции.

Основные определения и понятия

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит дифференцирование только по одному аргументу в противоположность уравнению в частных производных.

Линейное уравнение содержит и ее производные в первой степени. Это обеспечивает выполнениепринципа суперпозиции – разные состояния не влияют друг на друга и при наложении складываются. Если и– решения уравнения, то решением также является, гдеи– постоянные.

Порядок уравнения равен наибольшей кратности дифференцирования.

Однородное уравнение не содержит слагаемого, свободного от . Однородное уравнение описывает систему саму по себе, без внешних источников и возмущений. Решение однородного уравнения определяется с точностью до умножения на постоянный множитель.

Частные решения. Уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения и, причем

.

Общее решение является линейной комбинацией частных решений

.

Единственность решения достигается нахождением с₁ и с₂ из граничных условий, накладываемых на решение на границах интервала определения аргумента в точкахА и B.

Однородное граничное условие для точки А имеет вид

, (5.2)

и – параметры.

Пример:

Уравнение колебаний струны

, ,

–смещение из положения равновесия в точке x.

Граничные условия:

–конец струны закреплен;

–свободный конец;

–упруго связанный конец.

Задача Штурма–Лиувилля – решить уравнение (5.1) с граничными условиями (5.2) и вещественными и.

Методы решения:

1) Точное решение методом факторизации;

2) Приближенное решение путем разложения решения в степенной ряд по аргументу и/или по малому параметру.

Алгоритм МетодА факторизации Идея метода факторизации

Факторизация – приведение объекта к виду произведения основных структурных единиц, от лат. factor – ‘делающий’, ‘производящий’.

Уравнение

(5.1)

рассматривается как уравнение

, (5.3)

на собственную функцию линейного дифференциального оператора

.

В уравнении (5.3)

–собственное значение оператора для функции ;

–порядок решения.

Метод факторизации выражает оператор второго порядка в виде произведения операторов первого порядка дифференцирования

,

где

–оператор рождения;

–оператор уничтожения.

Решение факторизуется

,

где – функция вакуума. Согласно методу факторизациисостояние системы возникает из состояния вакуума под действием операторов рождения.

Метод факторизации используется далее для уравнений с конкретным видом функций коэффициентов –гипергеометрического типа и обобщенного гипергеометрического типа, имеющих важные практические применения.

Уравнение гипергеометрического типа

На первых этапах развития математики гипергеометрическим (от греч. υπερ – ‘превышение нормы’) называлось уравнение, решение которого разлагалось в ряд, более сложный, чем геометрическая прогрессия.

Если в (5.1) – полиномы, соответственно, второго, первого и нулевого порядков, то получаемгипергеометрическое уравнение

, (5.4)

где

; ;

–параметры.

Примерами гипергеометрического уравнения являются: волновое уравнение, уравнение Эрмита, Лагерра, Лежандра, Чебышева и др.