Пример rc-фильтр нижних частот

Получим функцию Грина и передаточную функцию для напряжения на емкости.

1. Уравнение цепи. Второе правило Кирхгофа для контура (сумма падений напряжений равна сумме действующих ЭДС) дает

,

где

, .

Обозначаем

, ,

получаем уравнение для заряда

.

Коэффициенты постоянные, область определения , поэтому система однородная. Функция Грина заряда

, ,

удовлетворяет уравнению

.

2. Преобразование Фурье с частотой для функции Грина дает передаточную функцию заряда

.

По теореме Фурье о дифференцировании получаем

.

Преобразование Фурье уравнения

дает

.

Откуда получаем передаточную функцию заряда

, (П.10.7)

где введено время затухания

.

3. Напряжение на емкости

,

тогда передаточная функция напряжения связана с передаточной функцией заряда

. (П.10.8)

Согласно (9.44) образ решения неоднородного уравнения равен произведению образа возмущения на передаточную функцию

.

Тогда образ напряжения на емкости равен произведению образа ЭДСнапередаточную функцию напряжения

. (П.10.9)

Амплитуда напряжения на емкости пропорциональна

.

Амплитуда существенно убывает при , где , поэтому схема является фильтром нижних частот для входящего сигнала .

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение, фильтрующее свойство, интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Описание объекта. Уравнение, решение, спектр энергии. Условие ортонормированности.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Сферические координаты. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ).

Экзамен

1. Преобразование и теоремы Фурье.

2. Преобразование Фурье периодической функции.

3. Дельта-функция и ее свойства. Интегральное представление.

4. Функция Хевисайда.

5. Прямоугольная функции. Функция sinc.

6. Гамма-функция.

7. Бета-функция.

8. Формула Стирлинга.

9. Полиномы Эрмита.

10. Функции гармонического осциллятора.

11. Обобщенные полиномы Лагерра.

12. Радиальные функции атома водорода.

13. Полиномы Лежандра.

14. Присоединенные функции Лежандра.

15. Сферические функции.

16. Функции Бесселя первого рода.

17. Функции Бесселя полуцелого порядка. Сферические функции Бесселя.

18. Функция Эйри.

19. Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя.

20. Функция Грина. Свойства и получение методом сшивания на основе частных решений однородного уравнения.

21. Функция Грина. Спектральное представление для уравнения Лиувилля.

30