Функция грина

является реакцией линейной системы на точечное возмущение, где

x – точка, где действует возмущение на систему,

x – точка, где рассматривается реакция системы.

Точечным возмущением может быть: поле, тепло, сила, заряд и т. д., действующие на систему в точке.

1. Функция Грина связывает локальную причину (возмущение) со следствием (реакцией системы);

2. Если система описывается однородным дифференциальным уравнением второго порядка, то функция Грина является фундаментальным решением неоднородного уравнения с правой частью в виде ;

3. Используя функцию Грина можно найти реакцию линейной системы на произвольное возмущение, представляя его суммой точечных воздействий, т. е. решить неоднородное дифференциальное уравнение с произвольной функцией в правой части.

4. Через функцию Грина выражается плотность состояний системы.

Джордж Грин (1793–1841) – математик и физик – самоучка, сын пекаря и мельника, продолживший занятие своего отца. Жил в провинциальном городе Ноттингеме в Англии. Самостоятельно изучил латинский и древнегреческий языки, обязательные для поступления в университет, а также французский язык. Окончил Кембриджский университет в 44 года. В 1828 г. ввел «функцию Грина» и потенциал. Для функции с непрерывными производными получил «формулу Грина», связывающую интеграл по замкнутому контуру с интегралом по площади, ограниченной этим контуром. Грин исследовал одиночную волну на воде (солитон – от англ. solitary wave – «уединенная волна») в канале и показал, что при прохождении волны частицы воды совершают круговые движения в вертикальной плоскости. Получил выражение для электрического поля эллипсоида в n-мерном пространстве. При жизни его работы не получили признания. Умер от пьянства в 48 лет. Портрет Грина не найден.

Функция Грина для системы, описываемой дифференциальным уравнением

Невозмущенная линейная одномерная система описывается частным решением однородного уравнения

, (9.1)

где – оператор дифференцирования. Решение удовлетворяет граничным условиям в точкахA и B

,

. (9.2)

Возмущенная система описывается частным решением неоднородного уравнения

, (9.3)

где –плотность источника или возмущения. Общее решение уравнения (9.3) складывается из частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения (9.1).

Функция Грина удовлетворяет неоднородному уравнению

(9.4)

с локальным возмущением в точке и граничными условиями, аналогичными (9.2). Найдем функцию Грина и решение неоднородного уравнения (9.3) по известным решениям однородного уравнения (9.1).

Принцип суперпозиции

Линейное уравнение (9.3)

удовлетворяет принципу суперпозиции:

если для источника решение,

и для источника решение,

то для источника решение.

Доказательство получается прямой подстановкой в (9.3).

Интеграл Дюамеля

Выразим решение неоднородного уравнения (9.3) с правой частью через функцию Гринаэтого уравнения. Используем принцип суперпозиции и представляем источникв виде суммы точечных возмущений, т. е. модулированной гребенкой дельта-функций

. (9.5)

Тогда решение уравнения (9.3)

выражается через функцию Грина в виде интеграла Дюамеля

. (9.6)

Доказательство:

Подставляем (9.6) в (9.3) и учитываем (9.4)

.

Получаем

.

Жан-Мари Констан Дюамель (1797–1872)

Французский математик и физик. В звучащем теле обнаружил кроме основного тона также обертоны. Разработал метод исследования вынужденных колебаний. В теории вариаций ввел «принцип Дюамеля». Для неоднородных дифференциальных уравнений получил «интеграл Дюамеля». Изобрел аппарат, записывающий звук.