Преобразование Фурье–Бесселя

Прямое преобразование Фурье–Бесселя выражает исходную функцию через коэффициенты Фурье ее образа . Обратное преобразование выражает функцию образачерез коэффициенты Фурье исходной функции .

Исходная функция и ее образ связаны преобразованием Фурье (8.91) – (8.92)

,

.

Функцию разлагаем по углу φ в ряд Фурье по базисусогласно (8.93)

.

Коэффициенты , зависящие от радиуса, выражаем через преобразование Ганкеля (8.96)

.

В результате исходная функция в полярных координатах выражается через коэффициентыобраза Ганкеля

. (8.100а)

Функцию образа разлагаем по углу α в ряд Фурье по базисусогласно (8.94) и (8.95)

,

.

В результате Фурье-образ в полярных координатах выражается через коэффициенты исходной функции

. (8.100б)

Формулы (8.100а) и (8.100б) являются разложениями функции и ее Фурье-образа, выраженных в полярных координатах, по функциям с определенной проекцией орбитального момента.

Коэффициенты ис одинаковым индексомm связаны между собой преобразованием Ганкеля

, .

Преобразование Ганкеля нулевого порядка

Система с осевой симметрией описывается функцией , не зависящей от угла. В разложении по углу (8.93)

,

остается лишь слагаемое . Тогда преобразование Фурье–Бесселя (8.100)

,

,

и преобразование Фурье в полярных координатах (8.91) и (8.92)

,

переходят в преобразование Ганкеля нулевого порядка

,

. (8.101)

В результате функция с осевой симметрией имеет Фурье-образ с осевой симметрией.

Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:

1) Для кольцевой функции радиусомa из (8.101) и (8.97а) находим

,

. (8.102)

Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка; образом Ганкеля для функции Бесселя нулевого порядка является дельта-функция.

2) Для кулоновской функции с учетом условия нормировки(8.14а)

,

из (8.101) получаем

. (8.103)

Образом Ганкеля для кулоновской функции является кулоновская функция.

3) Для постоянной из (8.101) получаем

,

, (8.104)

где использовано (8.49), (2.2) и (8.13). Образ Ганкеля для постоянной выражается через дельта-функцию.

4) Круговая функция равна единице в круге радиусом a и нулю за его пределами, и обобщает прямоугольную функцию:

(8.105)

Обозначение происходит от лат. circularis – «круговой». Используя

(П.9.1)

при ,,, и теорему о парах функций,находим

,

. (8.106)

Образ Ганкеля для круговой функции выражается через функцию Бесселя первого порядка.

46