Рекуррентные соотношения
1. Подставляем (8.57)
в (8.37)
при
.
Получаем
.
(8.70)
2. Подставляем
,
в (8.36)
при
.
Получаем
.
Из (8.70) выражаем
,
подставляем в последнее равенство, и получаем
.
(8.71)
3. Выполняются соотношения
,
(8.72)
,
(8.73)
,
(8.74)
.
(8.75)
Функция Эйри первого рода
,
Описывает:
– дифракцию волн,
– состояние квантовой частицы в однородном поле,
– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,
– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.
Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.
Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)
Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри».
Уравнение Эйри
(8.76)
Функция Эйри является частным решением (8.76).
Связь с функцией Бесселя
Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля
-
,
находим
,
,
,
.
Общее решение
-
,
получает вид
.
(8.77)
Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.
При
отрицательном аргументе
уравнение (8.76) получает вид
,
,
(8.78)
и совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами
,
,
,
.
Получаем общее решение (8.76) при отрицательном аргументе
,
.
(8.79)
Функция Эйри первого рода
Определяется
как частное решение (8.79) с коэффициентами
.
(8.80)
Условия нормировки
При малом аргументе учитываем (8.11)
-
,
и из (8.80) находим
.
При
первое слагаемое дает нуль. Получаем
нормировку
.
(8.81)
Нормировка в интегральной форме
(8.82)
следует
из (8.84) при
,
которое будет доказано далее:
.
Выполняется
,
.
(8.82а)
Доказательство (8.82а):
Интегрируем
.
Используем (8.80)
,
Получаем
,
где заменен аргумент
,
,
и учтено (8.14)
.
Интегральное представление
Получим функцию Эйри с положительным аргументом. Для этого решим уравнение Эйри
методом Фурье-преобразования.
Используем (1.35) и (1.37)
,
.
Фурье-преобразование уравнения
дает для Фурье-образа дифференциальное уравнение первого порядка
.
Разделяем переменные
,
интегрируем и находим
.
Выполняем
обратное преобразование Фурье, и заменяем
:
.
Подставляем Фурье-образ
.
Находим
с,
вычисляя интеграл при
:
.
Сравниваем с условием нормировки (8.81)
,
находим
.
Вычисление интеграла
.
В (4.9)
полагаем
,
,
,
получаем
,
где
.
Из (4.18)
находим
.
Получаем
.
С
учетом
функция Эйри выражается черезинтеграл
Эйри
,
(8.83)
Получен Фурье-образ функции Эйри
.
(8.84)
Из
(8.84) при
находим условие нормировки (8.82)
.
Предел
При
из (8.80) и (8.12а)
-
,
получаем колебательный характер функции
.
(8.85)
Первые
нули
:
.
Наибольший
максимум
;
.
Предел
Интеграл Эйри (8.83)
при
вычисляем методом
Лапласа
– главный вклад в интеграл вносит
область вблизи максимума показателя
экспоненты.
Записываем в виде
.
Разлагаем показатель экспоненты
при
больших x
в ряд Тейлора
около точки экстремума
,
и ограничиваемся первыми тремя членами
ряда:
.
Находим положение экстремума
,
,
где
знак 
выбран из условия, что экстремум
соответствует максимуму, где вторая
производная отрицательная. Получаем
,
,
в результате
.
Из (8.83) находим
,
,
где сделана замена
.
В
полосе (0,
)
отсутствуют полюсы подынтегральной
функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования
в комплексной плоскости к вещественной
оси не изменяет интеграла
,
где использован интеграл Пуассона (П.2.7)
.
В результате получаем
.
(8.87)
