Функция Бесселя полуцелого порядка

Функция Бесселя целочисленного порядка не сводится к элементарным функциям. Функция полуцелого порядка выражается через тригонометрическую функцию.

1. Используем представление (8.9) в виде ряда

при

.

С учетом

,

находим

.

Сумма является разложением косинуса, в результате

. (8.53)

2. Из (8.42)

при  = –1/2

,

получаем

. (8.54а)

3. Из (8.37)

при  = 1/2

,

откуда

. (8.54б)

4. Из (8.43)

,

при

,

с учетом (8.53)

,

находим

. (8.55)

5. Из (8.41)

,

при

,

с учетом (8.54а)

получаем

. (8.56)

Нули

k – порядковый номер нуля. Числовые расчеты для первых нулей дают:

x_0,1 = 3,0, x_0,2 = 6,2;

x_1,1 = 4,4, x_1,2 = 7,7;

x_2,1 = 5,7, x_2,2 = 9,0.

Графики

,

Сферическая функция Бесселя

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k.

Множество при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Радиальная зависимость волны

Волна удовлетворяет уравнению Гельмгольца

.

В сферических координатах оператор Лапласа (7.6)

,

где – оператор квадрата момента импульса.

В получаемом уравнении переменные r и (, ) разделены, ищем решение в виде произведения независимых функций

,

где – сферическая функция. Решение подставляем в уравнение и учитываем (7.20)

.

Для радиальной функции получаем уравнение

.

Замена дает

.

Для нахождения решения сравниваем с уравнением Ломмеля

,

получаем

, , ,.

Общее решение (8.4)

,

получает вид

.

Физическое решение конечно при . С учетом (8.11)

получаем , тогда

.

Радиальная зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k описывается сферической функцией Бесселя.

Уравнение для

Решение уравнения Ломмеля (8.3)

сравниваем с (8.57)

,

находим

, , ,.

Уравнение Ломмеля

получает вид

. (8.58)

Явный вид функции

Используем (8.57)

.

В (8.55)

заменяем , и находим

.

В результате сферическая функция Бесселя

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x  

Используем (8.12а)

находим

. (8.63)

Из (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x  0

Используем (8.11)

,

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

, ,

при

.

Из (8.57)

выражаем

,

.

Получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только. Используя, находим

, . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на , где, и интегрируем по интервалу. В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

3. Из (8.67) и (8.62)

, ,

следует

. (8.68)