4.5. Момент инерции тела относительно оси вращения

Во вращательном движении в качестве меры инертности используется мо­мент инерции (тело одной и той же массы при вращении относительно разных осей обладает разной инертностью, поэтому массой в качестве меры инертно­сти вращающихся тел пользоваться нельзя).

Определение момента инерции

можно прочесть так: момент инерции тела относительно оси zравен сумме произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения до данной элементарной массы.

Момент инерции есть величина скалярная.

Размерность момента инерции, как это видно из определения, [J]=кг^.м².

Из определения следует, что момент инерции - величина аддитивная, т.е. момент инерции системы из нескольких частиц равен сумме моментов инерции каждой из частиц.

Вычисление момента инерции производится путём интегрирования:

где dm - элементарная масса;dV - элементарный объём (объём, занимаемый элементарной массой);r- расстояние от элементарной массы до оси вращения;- плотность тела в данной точке.

Вычисление этого интеграла в общем случае может быть довольно слож­ным, но если тело однородно, т.е. плотность тела во всех его точках одинакова, то плотность можно вынести за знак интеграла

.

В качестве примера рассмотрим расчёт момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр.

Выделим в диске кольцо радиуса rширинойdr.

Масса этого кольца dm=dV=b2rdr, гдеb- толщина диска. Тогда момент инерции диска

(здесь учтено, что bR²=m- масса диска).

Важно отметить, что момент инерции тела относительно разных осей различен (например, чем больше расстояние от материальной точки до оси вращения, тем больше её момент инерции).

Если этот же диск будет вращаться относительно оси, проходящей не через центр, то вы­числения станут намного сложнее. Но в ряде слу­чаев от необходимости интегрирования избавляет теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен мо­менту инерции тела относительно оси, про­ходящей через центр масс тела параллельно оси вращения плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

J=J_o+ma².

Например, момент инерции диска отно­сительно осиz, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоянииR от цен­тра масс тела, равен, по теореме Штейнера,

J=mR²/2 + mR²=3mR²/2.

4.6. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы.

Момент импульса i-й частицы равенL_i=[r_i,p_i].

Момент импульса системы частиц, равный сумме моментов импульсов всех частиц, принадлежащих системе, можно выразить как

Производная момента импульса системы частиц по времени равна сумме производных моментов импульсов всех частиц, принадлежащих системе, а ка­ждая из этих производных, как было показано ранее, равна сумме моментов всех сил, действующих на i-ю частицу. Поэтому производную момента импуль­са системы по времени можно записать следующим образом:

.

Суммарный момент внутренних сил равен нулю, поскольку, в соответст­вии с третьим законом Ньютона, внутренние силы попарно равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль одной прямой. Как было отмечено в разд. 4.1, момент такой пары сил равен нулю. Следовательно,

,

т.е. момент импульса системы частиц изменяется под действием момента внешних сил.

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то

.

Нулю равна производная от константы, следовательно при момент импульса системы частиц постоянен во времени, т.е.L=const.

Таким образом, момент импульса системы материальных частиц будет постоянным во времени, если суммарный момент внешних сил равен ну­лю. Это и есть закон сохранения момента импульса.

Обратите внимание: момент импульса системы будет сохраняться и в том случае, когда сумма внешних сил отлична от нуля, но суммарный момент внешних сил равен нулю.