4. Динамика вращательного движения твёрдого тела

Для описания динамики вращательного движения потребуются дополнительные динамические характеристики. Поэтому начнём с определений этих динамических характеристик.

4.1. Момент силы

Из повседневного опыта известно, что в ряде случаев, прикладывая одну и ту же силу к разным точкам тела, можно получить разные результаты (например, попытайтесь открыть дверь, прикладывая одинаковую силу к ручке двери и где-нибудь вблизи дверных петель).

Количественной мерой воздействия, зависящего от точки приложения силы, является момент силы.

Момент силы относительно точки О- это векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектораr, соединяющего точку О и точку приложения силы, и силыF:

M=[r,F].

Модуль вектора момента силыM=rFsin, где-угол между векторамиr иF.

Направление вектора М определяется по правилу правого винта: во-первых необходимо совместить начала перемножаемых векторов, затем поставить правый винт перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы-сомножители, и вращать его от вектора, записанного первым, к вектору, записанному вторым, в сторону наименьшего угла; направление поступательного движения винта покажет направление результирующего вектора (в приведённом на рисунке примере результирующий вектор направлен за рисунок). Размерность момента силы [М]=Н^.м, т.е. ньютон на метр.

Если на тело действуют несколько сил одновременно, то результирующий момент силы относительно некоторой точки О равен векторной сумме моментов всех сил относительно той же точки О:

M=M₁+M₂+…+M_N.

Если к телу приложены две силыF₁ иF₂, равные по величине и противоположные по направлению, то их суммарное действие характеризуют моментом пары сил. Момент пары сил равен сумме моментов силF₁ иF₂ относительно одной точки О:

M=[r₁,F₁]+[r₂,F₂]=[r₁,F₁]-[r₂,F₁]=[(r₁-r₂₎,F₁]=[r₁₂,F₁];

Здесь учтено, чтоF₂=-F₁; векторr₁₂– вектор, соединяющий точки приложения силF₁ иF₂.

Если силыF₁ иF₂ не только равны по модулю, но и направлены вдоль прямой, соединяющей точки приложения сил, то угол между силойF₁и радиус-векторомr₁₂равен нулю. Поэтому момент такой пары сил равен нулю.

Проекция вектора момента силы на ось z, проходящую через точку О, называетсямоментом силы относительно оси

M_z=[r,F]_z.

Момент силы относительно оси является скалярной величиной.

Если на тело действуют несколько сил одновременно, то результирую­щий момент силы относительно оси z, проходящей через точку О, равен проекции результирующего момента всех сил относительно точки О на эту ось.

При решении задач удобно использовать другой вариант определения момента силы относительно оси:

M_z=F_R,

гдеF_ - проекция вектора силы на касательную к траектории вращения,R - плечо силы (это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы, равноеrsina).

На рисунке показано вращающееся тело, к которому приложена сила F. Параллельная и перпендикулярная оси составляющие силы влияния на вращение тела не оказывают, так как ось закреплена. Третья составляющая силыF_τ, направленная по касательной к оси, и создаёт момент силы относительно осиM_z.