3.4. Силы и потенциальная энергия

Сила, действующая на тело в консервативном поле, и потенциальная энергия этого тела связаны между собой. Найдём эту связь.

Элементарная работа по перемещению тела в консервативных полях, с одной стороны, равна Fdr, а с другой- -dU. Следовательно, элементарная работа и убыль потенциальной энергии равны:Fdr=-dU.

Если тело перемещается вдоль оси х, тоF_xx=-U и

.

Аналогично можем показать, что . В этих выражениях F_x,F_y,F_zесть проекции вектора силыF, действующей на тело, на оси координат. Используя эти проекции, можно выразить вектор силы как

F=i F_x+j F_y+k F_z

или

Это выражение принято записывать в сокращённом виде:

F=-gradU

и читатьтак: сила, действующая на тело в стационарном консервативном поле, равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком.

Используя эти соотношения, можно найти силу, которая будет действо­вать на тело в любой точке стационарного консервативного поля.

3.5. Полная механическая энергия частицы

Пусть некоторая частица находится в стационарном поле консервативных сил. Со стороны этого поля на частицу действует консервативная сила F_конс.

Работа, совершаемая этой силой, с одной стороны, идёт на приращение кинетической энергии частицы, движущейся под действием силы F_конс, а с другой - равна убыли потенциальной энергии этой частицы.

Но это означает, что приращение кинетической энергии частицы равно убыли её потенциальной энергии

.

Перегруппировав члены этого уравнения, получаем

.

Из полученного выражения следует, что сумма кинетической и потенциальной энергий частицы, движущейся в стационарном консервативном поле, остаётся постоянной.

Величину

называют полной механической энергией частицы.

Теперь давайте допустим, что кроме консервативной силы на частицу действует ещё некоторая неконсервативная сила F_неконс.

В этом случае приращение кинетической энергии обусловлено работой как консервативной, так и неконсервативной сил: W=A_конс+A_неконс.

В то же время убыль потенциальной энергии обусловлена только консервативной силой: -U=A_конс.

Поэтому можно записать:

W=-U+A_неконс,

W+U=A_неконс,

(W+U)=A_неконс,

и, наконец,

Е=A_неконс.

Полученное выражение означает, что при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия частицы изменяется. При этом приращение полной механической энергии частицы равно работе неконсервативных сил над этой частицей.

Отсюда следует, что если неконсервативные силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы остаётся постоянной. Данную формулировку называют законом сохранения механической энергии частицы.

3.6. Потенциальная энергия системы тел

Пусть имеется система из двух взаимодействующих тел.

Предположим, что силы, возникающие при взаимодействии этих тел, консервативны.

Если под действием внутренних сил одно из тел изменит своё положение относительно другого, то работа внутренней силы будет равна убыли его потенциальной энергии.

Потенциальная энергия этого тела обусловлена его взаимодействием с другим телом, принадлежащим этой системе. Поэтому её называют потенциальной энергией взаимодействия тел системы, или потенциальной энергией системы тел.

Если система состоит из Nтел, силы взаимодействия между которыми консервативны, то потенциальная энергия системы может быть выражена как сумма потенциальных энергий взаимодействия пар тел. Например, для трёх тел U=U₁₂+U₂₃+U₃₁ где -U₁₂ - потенциальная энергия взаимодействия 1-го и 2-го тел,U₂₃ - 2-го и 3-го и т.д. Это выражение можно представить в виде

В этом выражении предполагается, что суммирование ведётся при iиk, принимающих значения от 1 доN (исключая значенияi=k). Множитель 1/2 появляется из-за того, что потенциальная энергия каждой пары тел встречается в этой сумме дважды (например,U₁₂ иU₂₁).

Поскольку величина каждого из членов этой суммы зависит от взаимного расположения пары тел, понятно, что потенциальная энергия системы тел зависит от взаимного расположения тел и изменяется при его изменении.