6.5 Распределение максвелла

Вы уже знаете, что молекулы идеального газа движутся хаотически и имеют различные по величине и направлению скорости.

Следовательно, часть молекул имеет скорость меньше среднеквадратичной, часть – больше среднеквадратичной. Поэтому возникает вопрос – как распределены молекулы по скоростям?

Теоретический анализ проблемы распределения молекул газа по скоростям был проведён Джеймсом К. Максвеллом в 1859 году. Им было получена функция f(v), которая определяет относительное количество молекул в единице объёма, скорости которых лежат в интервале отvдоv+dv:. Максвелл показал, что функцияf(v) имеет следующий вид:

,

где m_o– масса молекулы,Т– температура газа.

Это выражение называют функцией распределения Максвелла.

Оно позволяет рассчитать количество молекул, модули скоростей которых лежат в интервале от vдоv+dv:

.

Результаты расчёта по этой формуле совпадают с экспериментальными результатами.

На графике количество молекулdnпредставлено заштрихованной областью.

Количество частиц nв конечном интервале скоростей

.

Если пределы интегрирования охватывают интервал скоростей от 0 до , то в этот интервал попадают скорости абсолютно всех молекул идеального газа при данной температуре. Поэтомуn=n, т.е. полному количеству молекул в единице объёма газа.

6.6 Свойства функции распределения максвелла

Как видно из приведённых выше графиков, функция распределения имеет явно выраженный максимум, приходящийся на некоторую скорость v.

Скорость, на которую приходится максимум f(v), называютнаиболее вероятной, так как максимальна вероятность обнаружения молекул, скорости которых лежат в бесконечно малом интервале скоростейdvв окрестности наиболее вероятной скоростиv_вер.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, исследовав на экстремум функцию распределения Максвелла. Функция f(v) имеет экстремум в точке, отвечающей условию . Взяв эту производную, получаем

.

Как видно из полученного выражения, наиболее вероятная скорость молекул газа растёт с ростом температуры. Следовательно, с ростом Тмаксимум графикаf(v) должен смещаться вправо.

Площадь, охваченная графиком функции распределения, должна оставаться неизменной, поскольку в интервале скоростей от 0 донаходятся скорости абсолютно всех молекул идеального газа. Следовательно, по мере ростаТмаксимум графикаf(v) сдвигается вправо, одновременно становясь ниже.

Левая часть графика функции распределения Максвелла всегда круче правой. Это означает, что площадь, ограниченная левой (до максимума) частью графика всегда меньше площади, ограниченной правой частью. Это в свою очередь означает, что количество молекул, скорость которых меньше наиболее вероятной, всегда меньше количества молекул, имеющих скорость больше наиболее вероятной скорости. Количество молекул со скоростью меньшей, чем наиболее вероятная равно

,

т.е. 43% всех молекул движутся со скоростью, меньшей наиболее вероятной скорости.

6.7 Средняя и среднеквадратичная скорости молекул

Средняя скорость молекул есть среднее арифметическое от скоростей всех молекул газа:

.

В соответствии с теорией вероятности средняя скорость молекул равна

.

Среднеквадратичной называют скорость, равную (см. раздел Error: Reference source not found). Величинав соответствии с теорией вероятности вычисляется как

.

Соответственно среднеквадратичная скорость будет равна

.

Расчёт показывает, что. Средняя и среднеквадратичная скорости больше наиболее вероятной по той причине, что в них бόльший вклад вносят молекулы со скоростью, превышающей наиболее вероятную (т.к. таких молекул больше).