6.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Основным уравнением молекулярно-кинетической теории называют уравнение, связывающее давление газа Р со скоростью молекул, концентрацией газа и массой его молекул.

Для того чтобы получить искомое уравнение, рассмотрим процессы, про­текающие в замкнутом сосуде, заполненном идеальным газом.

Выделим в сосуде малый объём, примыкаю­щий одной из сторон к стенке сосуда с газом. Площадь этой стороны равнаS.

По направлению к стенке движется неко­торое количество молекул. Допустим, что скорос­ти молекул одинаковы и равны v_х Каждая молеку­ла, соударяясь со стенкой сосуда, передаёт ей импульср равный

^,

где т₀ - масса одной молекулы.

За время t со стенкой успеют столкнуться те молекулы, которые нахо­дились от неё на расстоянии, меньшемv_xt и двигались к стенке.

Молекулы идеального газа перемещаются хаотически, поэтому половина из них движется к стенке, другая - в противоположном направлении.

Объём, который занимали эти молекулы, будет равен Sv_xt Поэтому если в единице объёма имеетсяп молекул, то о стенку сосуда ударится молекул.

Суммарный импульс, переданный стенке всеми молекулами за время t, равен.

По второму закону Ньютона, сила равна отношению приращения им­пульса, полученного за время t, кt: . Это означает, что сила, дейст­вующая на стенку сосуда вследствие ударов молекул, равна

.

Давление, по определению, есть сила, действующая на единицу поверх­ности. Следовательно, давление Р на стенку будет равно

.

Перед выводом данного выражения мы предположили, что молекулы движутся с одинаковыми скоростями. На самом деле это не так, молекулы иде­ального газа движутся хаотически, их скорости имеют разные значения. При­чём для расчёта давления необходим квадрат скорости. Поэтому в молекуляр­но-кинетической теории используется так называемая среднеквадратическая скорость .

По определению, среднеквадратичная скорость молекул равна

где - квадраты мгновенных скоростей молекул газа.

Поскольку молекулы идеального газа движутся хаотически, все направления движения равновероятны.

Поэтому можно предположить, что усреднённые скорости движения молекул вдоль осей координат одинаковы:

,

где - среднеквадратичные скорости движения молекул вдоль осей координат.

С использованием среднеквадратичных скоростейквадрат полной среднеквадратичной скорости молекул газа можно выразить как

и среднеквадратичная скорость движения молекул вдоль оси х равна

.

Именно эту скорость и следует использовать -в выражении для расчета давления идеального газа:

.

Полученное выражение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории.

Учитывая, что концентрация молекул , гдеN– число молекул в объёмеV, выражение для давления можно записать так:

,

,

где - средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Окончательно, учитывая, что произведение количества молекул на среднюю энергию молекулы равно полной энергии молекул, находящихся в объёме V, получаем основное уравнение молекулярно-кинетической теории в другой форме:

,

где Е– внутренняя энергия идеального газа.

6.3 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Экспериментально было установлено, что для любого газа, близкого к идеальному, , гдеb=const.

Для одного моля идеального газа эта константа называется "универсальная газовая постоянная" (обозначается R), иРV_=RT(V_ - объём одного моля при температуреТи давленииР). Универсальная газовая постояннаяR=8,31.

Произвольная масса газа mсодержитm/молей (- масса одного моля). Для неё уравнение состояния идеального газа принимает следующий вид:

.

Это выражение также называют уравнением Менделеева–Клапейрона, поскольку именно эти учёные получили данное уравнение.

Уравнение Менделеева – Клапейрона можно записать в иной форме. Для этого понадобится число Авогадро, которое равно количеству молекул газа, содержащихся в одном моле газа: N_А=6,022^.10²³молекул. Объём, занимаемый одним молем при нормальных условиях (т.е. при температуре 0^оС и давлении в одну атмосферу), равен 22,4л=22,4^.10^-3м³.

Умножим и поделим правую часть уравнения на число Авогадро: . Но, гдеN– число молекул газа массойm., гдеk– постоянная Больцмана (значение постоянной Больцманаk=1,38^.10²³Дж/К). Поэтому уравнение принимает следующий вид:

PV=NkT.

Это выражение представляет собой ещё одну форму записи уравнения состояния идеального газа.

6.4 СРЕДНЯЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории и уравнения состояния идеального газа следует, что . Это означает, что

.

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа прямо пропорциональна температуре газа.

Обратите внимание – в выражение для кинетической энергии молекулы идеального газа не входим масса молекулы. Следовательно, молекулы с любой массой при данной температуре будут обладать одинаковой средней кинетической энергией. А это, в свою очередь означает, что при одной и той же температуре молекула большей массы будет иметь меньшую среднеквадратичную скорость.

Из механики известно, что кинетическая энергия частицы массой m, движущейся со скоростьюv, равна, гдеv_x,v_y,v_z– проекции скоростиvна оси координат.

Но это означает, что .

Поскольку все направления движения молекул идеального газа равновероятны, доля энергии, приходящейся на каждую из компонент кинетической энергии , одинакова и равна.

Величины v_x,v_y,v_zчасто называют скоростями независимых компонент поступательного движения. Поэтому можно сказать, что на каждую независимую компоненту поступательного движения приходится доля кинетической энергии поступательного движения, равная.