5.7. Основное уравнение релятивистской динамики

Основное уравнение релятивистской динамики (в классической физике это второй закон Ньютона) внешне выглядит как в классической - .Но вместо классического в нём использован релятивистский импульс. Поэтому его можно переписать в такой форме:

Это выражение и называют основным уравнением релятивистской динамики.

Важно отметить, что одно и то же внешнее воздействие в разных инерци­альных системах отсчёта будет характеризоваться различными силами. Други­ми словами, сила в теории относительности - величина неинвариантная.

Кроме того, в общем случае сила и ускорение не совпадают не только по величине, но и по направлению. Чтобы убедиться в этом, возьмём производную по времени, имеющуюся в правой части основного уравнения релятивистской динамики

.

Обратите внимание: первый член полученной суммы направлен парал­лельно скорости частицы, а второй член, в который, собственно, и входит уско­рение dv/dt, параллелен ускорению. В то же время сумма этих двух векторов равна силе, приложенной к частице.

Таким образом, ускорение параллельно силе лишь в тех случаях, когда складываемые векторы параллельны между собой^. В остальных случаях на­правления у них не совпадают.

5.8. Кинетическая энергия релятивистской частицы

Кинетическая энергия в теории относительности вводится точно так же, как и в классической динамике, - это величина, приращение которой равно ра­боте силы (сил), действующей на частицу:

dW=Fdr=Fvdt.

В соответствии с основным уравнением релятивистской динамики

Fdt=d(mv)=dmv+mdv.

Переписав с учётом последнего выражения определение кинетической энергии, получим

dW=v(dmv+mdv)=v²dm+mvdv.

Возведём формулу зависимости релятивистской массы от скорости в квадрат и выполним простейшие преобразования

.

Запишем дифференциал от этого выражения

.^

Разделим полученное выражение на2т

.

Обратите внимание: правая часть полученного выражения и правая часть определения кинетической энергии совпадают. Следовательно,

dW=c²dm.

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы прямо про­порционально приращению релятивистской массы частицы.

Кинетическую энергию частицы, скорость которой возросла от нуля до скорости v, можно получить, взяв интеграл отdW в пределах отт₀ (массы покоя) дот:

W=(m-m_о)c².

Окончательно, используя выражение релятивистской массы, получим

.

Полученное для релятивистской кинетической энергии выражение не по­хоже на классическое. Но можно показать, что при малых скоростях это выра­жение переходит в привычное .

5.9. Взаимосвязь массы и энергии

В предыдущем разделе было показано, что приращение кинетической энергии тела связано с возрастанием его массы. Но кинетическая энергия не единственный и не исключительный вид энергии. Поэтому можно предполо­жить, что сообщение телу любой энергии должно вызывать изменение его массы.

В предыдущем разделе показано, что кинетическая энергия тела W, имеющего скоростьv, равна (т-т₀)с² .

Раскрыв скобки и выполнив элементарные преобразования, получим:

mc²=W+m_оc²

или

W=mc²-m_оc².

Кинетическая энергия тела в последнем выражении представлена как разность двух величин. Что они собой представляют?

Во-первых, это какие-то энергии (это следует хотя бы из того, что размерности кинетической энергии и этих величин совпадают).

Второй член этой разности содержит массу покоя тела. Поэтому можно предположить, что это энергия покоящегося тела. Её называют энергией покоя

E_o=m_оc².

Логично предположить, что сумма энергии движущегося тела (кинетиче­ской энергии) и энергии покоящегося тела есть полная энергия тела. Поэтому первый член выражения mc²=W+m_оc² естьполная энергия движущегося телаЕ

E=mc².

Полученный результат очень важен, поскольку масса тела и его полная энергия связаны между собой. Более того, масса есть не только мера инертно­сти тела, но и мера энергосодержания тела. Всякое увеличение энергии тела увеличивает массу тела, и, наоборот, всякое уменьшение энергии тела вызывает уменьшение его массы. Например, Солнце, испускающее излучение за счёт внутренней энергии, за каждую секунду теряет примерно 4^.10⁹кг. В повседнев­ной жизни мы не замечаем увеличения массы нагретого тела потому, что сооб­щённая нагретому телу дополнительная энергия составляет очень незначитель­ную долю полной энергии тела.