7.10 Статистическая интерпретация энтропии

В конце XIXвека толчок развитию термодинамики дало использование статистического подхода к решению термодинамических проблем.

Статистический подход предполагает чёткое различие между макро и микросостояниями системы.

Микросостояние считается заданным, если известны положения и скорости всех частиц макросистемы.

Для того, чтобы определить макросостояние, необходимо задать макроскопические характеристики: температуру, давление, массу и т.д.

В статистической физике доказывается, что огромное количество микросостояний может соответствовать одному и тому же макросостоянию.

Смысл этого утверждения легко показать с помощью простого примера.

Возьмём четыре монеты и будем многократно бросать их на стол. Естественно, некоторые монеты будут падать вверх "орлом", а некоторые – "решкой".

Макросостояние этой модели макросистемы определяется суммарным количеством молекул, упавших "орлом" вверх (или "решкой"; суть от этого не меняется).

Микросостояние будет определено, если указать, какие именно монеты упали "орлом" вверх.

Подсчитаем количество микросостояний, соответствующих каждому из возможных макросостояний:

Макросостояние	Возможные микросостояния (О – "орёл", Р – "решка"	Число микросостояний
4 "орла"	ОООО	1
3 "орла", 1 "решка"	ОООР, ООРО, ОРОО, РООО	4
2 "орла", 2 "решки"	ООРР, ОРОР, РООР, ОРРО, РОРО,РРОО	6
1 "орёл", 3 "решки"	РРРО, РРОР, РОРР, ОРРР	4
4 "решки"	РРРР	1

В основе статистической физики лежит принцип, гласящий, что все микросостояния макросистемы равновероятны. Поэтому чем больше микросостояний соответствует данному макросостоянию, тем выше вероятность его реализации.

В рассмотренном примере возможно всего 16 микросостояний. Шесть из них соответствует макросостоянию с двумя "орлами". Поэтому вероятность обнаружения модельной макросистемы в таком состоянии равна 6/16 т.е. около 38%.

Вероятность обнаружения макросистемы в состоянии с одним "орлом" или одной "решкой" меньше – она равна 25%.

Вероятность выпадения всех "орлов" или "решек" ещё меньше - 6%.

С увеличением числа частиц, образующих макросистему, количество возможных микросостояний резко возрастает. Например, если модельная макросистема будет состоять из 100 монет, то число возможных микросостояний приблизительно равно 10³⁰! Они будут распределены следующим образом:

И

Макросостояние (количество "орлов")	Число микросостояний
100	1
99	1.102
90	1,7.1013
80	5,4.1020
60	1,4.1028
55	6,1.1028
50	1,0.1029
45	6,1.1028
40	1,4.1028
20	5,4.1020
10	1,7.1013
1	1.102
0	1

этом случае наиболее вероятным является состояние, в котором половина монет выпала вверх "орлом". Вероятность обнаружения макросистемы в упорядоченном состоянии, т.е. состоянии с одними "орлами" или "решками" становится исчезающе малой -10^-30.

Таким образом, с ростом числа частиц макросистемы упоря­доченные состояния становятся практически невероятными; наи­более вероятным состоянием лю­бой макросистемы является состояние, в котором система максимально разупорядочена.

Правильность этого утверждения подтверждается практикой. Например, газ всегда занимает весь предоставленный ему объём. Молекулы газа хаотически движутся (скорости молекул подчиняются в равновесном состоянии газа распределению Больцмана). Другими словами, газ в равновесном состоянии максимально разупорядочен.

Вероятность того, что молекулы газа самопроизвольно займут упорядоченное положение в одном из углов комнаты чрезвычайно мала и на практике такое распределение не встречается.

Количество микросостояний W, соответствующих данному макросостоянию, называетсятермодинамической вероятностью.

В 1877 году Людвиг Больцман показал, что энтропия системы в конкретном макросостоянии равна

S=klnW,

где k– постоянная Больцмана,W– термодинамическая вероятность.

Любая макросистема, выведенная из равновесного состояния по истечении некоторого времени самопроизвольно перейдёт в равновесное состояние.

Как показано в этом разделе, равновесным является состояние с максимальным количеством соответствующих ему микросостояний, т.е. максимально разупорядоченное состояние.

Это означает, что в наиболее вероятном состоянии система имеет максимальную энтропию.

Поскольку наиболее вероятное состояние является наиболее беспорядочным, энтропию называют мерой беспорядкаилимерой хаоса.

Введённое Л.Больцманом определение энтропии позволило иначе сформулировать второе начало термодинамики: замкнутая система самопроизвольно переходит от менее вероятного состояния к наиболее вероятному. Именно поэтому процессы в макросистемах идут в направлении, вызывающем возрастание энетропии.

Статистическая трактовка второго начала термодинамики не запрещает переход системы в состояние с меньшей вероятностью. Но вероятность такого перехода чрезвычайно мала.

Например, бросив чашку на пол получим кучку осколков. Но сколько ни бросай на пол эти осколки, чашку не получишь.

Другой пример. Вероятность того, что все молекулы лежащего на земле камня случайно начнут двигаться в одну и ту же сторону (например, вверх), не равна нулю. Но часто ли Вы видите камни, самопроизвольно взлетающие вверх?