3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

В предыдущем разделе рассмотрены законы динамики, которые позво­ляют рассчитать, как будет двигаться тело массой т под действием силыF. Но задачи механики не сводятся лишь к расчёту траекторий тел. В ряде случаев важно не только то, как будет двигаться тело, но и какую для этого необходимо совершить работу, какой энергией будет обладать тело в процессе движения и в какой форме будет существовать энергия. Именно эти проблемы и будут рассмотрены в данном разделе.

3.1. Работа. Кинетическая энергия

Пусть вдоль оси х движется частица массойт. Пусть на частицу действу­ет постоянная силаF, параллельная осих. Динамическое уравнение, спроецированное на осьх, будет иметь вид

Умножим обе части этого уравнения на скорость частицы vи перенесём величинуdt в правую часть

Учитывая, что иvdt=dх, гдеdх– элементарное перемещение частицы за времяdt, получаем

Величина называется кинетической энергией, а величина F_xdх-элементарнойработой. С использованием этих терминов полученное соотно­шение можно прочесть следующим образом: элементарная работа, совершённая на бесконечно малом перемещенииdx силойF, идёт на приращение кинетической энергии частицы.

Если частица под действием силы F совершила конечное перемещение из точки1 в точку 2, то связь работы и кинетической энергии имеет следующий вид:

Взяв интегралы, получим

или

W₂-W₁=A₁₂,

Где v₁,v₂– скорости частицы в точках 1 и 2,W₁,W₂– значения кинетической энергии в тех же точках.

Полученное соотношение показывает, что и в этом случае работа, совершённая силой Fна перемещении из точки 1 в точку 2, идёт на приращение кинетической энергии частицы.

Обратите внимание на то, что в ходе анализа не учитывалось, какая именно сила действовала на частицу. Поэтому работа любой силы идёт на приращение кинетической энергии.

Отметим, что выражение для расчета кинетической энергии можно записать и в другом виде:

где p- импульс рассматриваемой частицы.

Как было уже показано, элементарная работа равна F_xdx. В выражение для элементарной работы входит проекция силыF на осьх (в данном случае это направление движения). Эта проекция равнаFcos, где- угол между силой и направлением движения. С учётом сказанного выражение для элементарной работы, совершённой силойF на элементарном перемещенииdr, равнаFdrcosa (поскольку элементарное перемещениеdr совпадает с осьюх, модуль перемещенияdr равен приращению координатыdx).

Из векторной алгебры известно, что результат скалярного произведения двух векторов равен произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Следовательно, элементарную работу можно выразить в векторной форме. Элементарная работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения Fdr=Fdrcos.

Работа, совершённая силой F на конечном перемещении тела из точки 1 в точку 2, равна

Это выражение является определением механической работы.

Работа есть скалярная величина, так как результат скалярного произведения силы на перемещение является скаляром. Работа может быть положительной (если угол <90^o), отрицательной (если угол>90^o) и равной нулю (если угол =90^o).

Физический смысл работы таков: работа является мерой энергии, пере­данной в ходе механического воздействия на тело.

Если на движущуюся материальную точку или тело действуют одновре­менно несколько сил, то работа будет равна

т.е. полная работа, совершаемая несколькими силами, равна алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело.

Полную работу нескольких сил можно рассчитать и иначе: заменить действующие силы одной, равной векторной сумме всех сил, приложенных к телу (она называется равнодействующей силой), и подсчитать работу этой силы:

F=F₁+F₂+...+F_k

.

В системе СИ единицей измерения работы и энергии является джоуль [A]=Дж (Дж=кг^.м/с²).

В качестве примера найдём работу, совершаемую некоторыми силами.