0. Корпускулярные свойства света

При взаимодействии света с веществом, когда происходит его поглощение, свет ведет себя как поток квантов фотонов, регистрируемых фотоприемником в виде «щелчков» в отдельных точках. При поглощении фотона электроном металла ему передается энергия и импульс фотона и возникает фотоэффект – выбивание электрона из металла, или внутренний фотоэффект – переход электрона из валентной зоны в зону проводимости полупроводника.

Энергия фотона по формуле Планка

, (1.6)

, .

Импульс ультрарелятивистской частицы связан с энергией

.

Учитывая

,

получаем, что импульс фотона обратно пропорционален длине волны

. (1.7)

Плоская волна (1.1) выражается через энергию и импульс фотона

. (1.8)

Соотношения неопределенностей

Дифференцируем (1.7) и получаем

.

Из (1.4)

,

находим

. (1.9а)

Чем точнее измеряется координата кванта, тем неопределеннее соответствующая проекция импульса.

Из (1.6)

и (1.5)

,

получаем

. (1.9б)

Чем меньше длительность излучения фотона, тем больше неопределенность его энергии.

Средняя концентрация фотонов

Согласно (1.2) энергия единицы объема

,

энергия фотона (1.6)

,

тогда средняя концентрация фотонов

.

Следовательно, вероятность обнаружения фотона в единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату модуля волны

. (1.10)

0. Волна де Бройля

Корпускулярно-волновая двойственность присуща не только фотону, но и частице вещества согласно Луи де Бройлю (1924).

Луи де Бройль (1892–1987)

По аналогии с фотоном частица вещества описывается волной. Используя (1.8)

,

получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергиейЕ сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):

, (1.11)

,

.

Длина волны

. (1.13)

Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм донм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров.

Плотность вероятности обнаружения частицы

, (1.14)

т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx

. (1.15)

Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки

. (1.16)

0. Квантование Бора–Зоммерфельда

Условие максимума интерференции (1.3)

обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы. Учитывая (1.13)

,

получаем условие обнаружения частицы на траектории с номером n

.

Обобщение на случай замкнутой траектории, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , даетформулу квантования Бора–Зоммерфельда

, (1.17)

где

–квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;

–объем фазового пространства одномерного движения, занятогоn состояниями.

Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.

Формула (1.17) применима в квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)

,

и (1.17) получаем условие применимости (1.17)

, , . (1.18)

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.

Если частица движется по окружности радиусом c постоянным модулем импульса , то из (1.17) получаем

,

где учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется

.

В результате проекция орбитального момента квантуется

, (1.19)

где ось z перпендикулярна плоскости траектории;

–магнитное квантовое число.

ПРИМЕР

1. Для одномерной прямоугольной потенциальной ямы шириной с абсолютно непроницаемыми стенками получитьдопустимые значения энергии и импульса.

Частица с полной энергией внутри ямы приимеет импульс

.

Из условия квантования для одномерного движения (1.17)

,

с учетом движения вправо и влево, находим

, ,

,

. (П.1.3)

Чем уже яма и меньше масса частицы, тем больше расстояние между соседними уровнями энергии.

Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем

, . (П.1.4)

Для электрона при L = 1 мм

.

Тепловая энергия kT такой величины соответствует . Следовательно, для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при достаточно высокой температуре.

Для микрообъема L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергиюпри нормальной температуре. Следовательно,для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре.