Уравнение Шредингера для осесимметричной системы

Если потенциальная энергия частицы имеет ось симметрии, т. е. не зависит от угла поворота вокруг оси z, тогда используется цилиндрическая система координат, в которой .

Гамильтониан частицы в цилиндрических координатах

, (5.15)

где

–кинетическая энергия радиального движения в плоскости (x,y);

–кинетическая энергия вращения в плоскости (x,y);

–кинетическая энергия движения вдоль оси симметрии z;

–проекция момента импульса на ось z;

–момент инерции относительно оси z;

–оператор проекции импульса на ось z.

Оператор коммутирует со всеми слагаемыми гамильтониана

, ,,

тогда

,

.

Проекция момента импульса сохраняется с течением времени и имеет определенное значение вместе с энергией. В результате осесимметричное состояние характеризуется собственными значениями операторов и, т. е. числамиЕ и m, или волновым числом и магнитным числом m

.

Радиальная зависимость потенциальной энергии . Если потенциальная энергия не зависит от z, тогда оператор коммутирует со всеми слагаемыми гамильтониана

, .

В результате

,

.

Проекция момента импульса на ось z и импульс вдоль этой оси сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. Состояние характеризуется собственными значениями операторов , или волновыми числамии, и магнитным числом m:

.

Уравнение Шредингера

с потенциальной энергией и с гамильтонианом (5.15) имеет вид

. (5.16)

Переменные r, z и  разделяются. Решение является собственной функцией операторови

,

,

тогда

. (5.17)

Подставляем (5.17) в (5.16) и для радиальной функции получаем

. (5.18)

Уравнение содержит m², поэтому зависит от модуля магнитного числа.

Замена (5.4)

с учетом

устраняет первую производную. Уравнение (5.18) получает вид

, (5.19)

или

. (5.19а)

Эффективная потенциальная энергия

складывается из и из центробежной энергии отталкивания от оси вращения. Уравнение (5.19а) аналогично одномерному уравнению Шредингера и к нему применимы использованные ранее методы решения. Для скачка потенциала при применимы краевые условия, аналогичные полученным для одномерного движения.

Конечность притребует выполнения граничного условия

. (5.19а)

Ортонормированность функций дискретного спектра имеет вид

. (5.20)

Примеры

1. Найти состояния плоского ротатора с моментом инерции .

Ротатор вращается вокруг неподвижной точки, в общем случае закрепленной. Если она совпадает с центром масс и вращение происходит вокруг одной из трех осей инерции, то момент центробежных сил равен нулю, ось вращения неподвижна и тело называется плоским ротатором. Если вращение происходит одновременно вокруг двух или трех осей инерции, то это пространственный ротатор.

При фиксированной оси вращения z используем гамильтониан в цилиндрических координатах (5.15)

.

При отсутствии радиального движения, движения по оси z и потенциального поля

.

Уравнение Шредингера получает вид

.

Сравниваем с уравнением

,

которое имеет нормированное решение

.

Получаем

,

.

В результате – собственная функция оператора ,

, , (П.6.1)

с собственным значением . Уровни энергии плоского ротатора

. (П.6.2)

Из (П.6.2) находим , следовательно, уровни вырождены двукратно при.

2. Найти состояния частицы в цилиндрической полости, свободной от полей. Полость радиусом а и длиной образующей s имеет абсолютно непроницаемые стенки.

Система осесимметричная , используем цилиндрические координаты, из (5.17) получаем общее решение

.

Функции

,

, ,

являются собственными функциями операторов и. Радиальная функция удовлетворяет уравнению (5.18)

.

При выполняется, тогда

.

Сравниваем с уравнением Ломмеля

,

имеющим общее решение

,

где – функция Бесселя. Находим параметры

, ,,.

Цилиндрическая функция Бесселя при инверсии порядка переходит сама в себя с точностью до постоянной фазы

,

тогда общее решение для радиальной функции

.

Краевые условия на торцах непроницаемой полости при и для

имеют вид

,

откуда находим

, ,

Краевое условие на непроницаемой боковой стенке

дает

,

где – корень функции Бесселя ; i – порядковый номер корня. В частности

; ; ; ; ; ; …

В результате получаем возможные значения волнового числа и энергии частицы

,

.

Число характеризует движения по осиz, число – вращение вокруг оси z, число – движение в радиальном направлении. Основное состояние электрона имеет минимальные значения квантовых чисел: ,,, , и минимальную энергию

.