Центральносимметричные и осесимметричные стационарные системы

У стационарной системы потенциальная энергия не зависит от времени, тогда гамильтониан

. (5.1)

Центральная симметрия системы означает отсутствие в сферических координатах угловой зависимости

.

Осевая симметрия означает отсутствие в цилиндрических координатах угловой зависимости

.

Для центрально- и осесимметричных систем сохраняется момент импульса, или его проекция.

Уравнение Шредингера упрощается в системе координат, симметрия которой согласуется с симметрией потенциальной энергии частицы. Состояние частицы характеризуется энергией и параметрами, операторы которых коммутируют с гамильтонианом и между собой, то есть имеют общие собственные функции и сохраняющиеся собственные значения.

Уравнение Шредингера для центрально-симметричной системы

Если потенциальная энергия частицы имеет центр симметрии, т. е. не зависит от углов θ и φ, тогда используется сферическая система координат, в которой .

Гамильтониан частицы

.

Оператор Лапласа согласно (4.8) и (4.9) имеет вид

,

где – оператор радиального импульса; – оператор квадрата момента импульса. В результате

. (5.7)

Гамильтониан складывается из кинетической энергии радиального движения частицы, кинетической энергии углового движения и потенциальной энергии.

Операторы икоммутируют между собой и со всеми слагаемыми гамильтониана

, ,,

,.

В результате

, .

Тогда из (2.67)

для и получаем

, .

Момент импульса и его проекция сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. Центрально-симметричное состояние характеризуется собственными значениями операторов , т. е. числамиЕ, l, m.

Уравнение Шредингера с гамильтонианом (5.7) имеет вид

,

где согласно (4.9)

.

Угловое и радиальное движения разделены, решение ищем в виде

.

Решение подставляем в уравнение, умноженное на 2μr² и деленное слева на ψ. Слагаемые с радиальной переменной и с угловыми переменными переносим в разные стороны равенства. Тогда обе стороны не могут зависеть от переменных и равны постоянной

, (5.8)

где безразмерное. В результате получены независимые уравнения для и для .

Уравнение для угловой функции

аналогично уравнению (4.14)

,

следовательно , где, и – сферическая функция, тогда

. (5.9)

Радиальное уравнение. Для радиальной функции из (5.8) с учетом получаем

,

следовательно

.

Используем

,

находим

. (5.10)

Решение ищем в виде

. (5.11)

С учетом

приходим к уравнению

, (5.12)

где

;

;

. (5.13)

Эффективная потенциальная энергия складывается изи из центробежной энергии отталкивания от оси вращения. Уравнение (5.12) аналогично одномерному уравнению Шредингера и к нему применимы использованные ранее методы решения.

Конечность притребует выполнения граничного условия

. (5.14)

Дискретный спектр состояний частицы ортонормирован

,

.