Решение стационарного уравнения Шредингера

Общее решение уравнения (3.1)

зависит от полной энергии Е и от двух параметров. Эти три величины находятся из граничных условий на двух концах области определения и из условия нормировки волновой функции

.

Алгоритм решения

1. График потенциальной энергии разбивается на участки непрерывности, на границах участков потенциальная энергия изменяется скачком. Участки нумеруются. На всех участках полная энергия частицы одинаковая.

2. Для каждого участка записывается уравнение (3.1) и находится общее решение с двумя свободными параметрами.

3. На границе соседних участков решения «сшиваются». Это дает алгебраические уравнения для параметров и для энергии частицы. При отсутствии условий сшивания используется ограниченность интеграла в условии нормировки.

4. Из условия нормировки волновой функции, учитывающего все участки, получается одно уравнение.

5. Решение системы алгебраических уравнений дает параметры волновой функции и спектр энергии частицы.

Граничные условия со скачком потенциала

Квантовые эффекты проявляются, если потенциальная энергия существенно изменяется на расстояниях порядка длины волны де Бройля. Этому условию удовлетворяет скачкообразное изменение потенциала, возникающее на границах металла и полупроводника, на примесях и дислокациях, в полупроводниковых гетероструктурах. Различают скачки: конечный, δ-образный и бесконечный. Конечный скачок существует, например, на границе металла или полупроводника с вакуумом. δ-образный скачок описывает точечное возмущение, например, примесный атом в кристалле. Бесконечный скачок является упрощающим приближением, когда энергия частицы гораздо меньше величины конечного скачка.

Конечный скачок δ-образный скачок Бесконечный скачок

Условия «сшивания» на границе участков получаем однократным и двукратным интегрированием уравнения Шредингера по бесконечно малому интервалу координат около точки скачка потенциала.

Конечный скачок потенциала при . Выполняем двукратное интегрирование уравнения (3.1)

по интервалу , где. Для конечной функциииспользуем

,

.

Второе и третье слагаемые уравнения при интегрировании дают нули, для первого получаем

,

где считается конечной. В результате

,

. (3.11)

Волновая функция и плотность вероятности непрерывны в точке конечного скачка потенциала.

Однократное интегрирование

,

вычисляется аналогично и дает

.

Первая производная волновой функции и плотность тока вероятности непрерывны в точке конечного скачка потенциала

,

, (3.12)

где использована проекция плотности тока вероятности (2.72)

.

-образный потенциал

,

где V с размерностью Дж·м является потенциальной энергией, приходящейся на единичный интервал координат. Записываем уравнение Шредингера

.

Однократное интегрирование слагаемых уравнения с учетом фильтрующего свойства дельта-функции

дает

. (3.13)

Левая сторона (3.13) получена из первого слагаемого уравнения, правая – из третьего слагаемого. В точке δ-потенциала первая производная волновой функции имеет разрыв, пропорциональный величине функции.

При двукратном интегрировании

учитываем

,

где Н – функция Хевисайда. В результате

,

и с учетом (3.13) находим

.

В точке δ-образного скачка потенциала волновая функция и плотность тока вероятности непрерывны.

При и возможный график показан на рисунке.

Бесконечный потенциал на конечном интервале. Уравнение

существует при на некотором интервале, если во всех точках интервала

. (3.14)