Электрон в периодической структуре

Имеются N одинаковых потенциальных ям, в которых на некотором уровне может находиться электрон. Ямы образуют периодическую структуру. При сближении ям электрон туннелирует между ямами. Это приводит к расщеплению уровня одиночной ямы на N подуровней. Множество подуровней называется зоной – областью с характерными свойствами, например, зона проводимости, валентная зона. Основы зонной теории кристалла заложили Феликс Блох и Леон Бриллюэн в 1928 г. и Рудольф Пайерлс в 1930 г. Задачу о движении электрона в периодическом поле потенциальных ям или барьеров, моделирующих кристаллическую решетку, рассмотрели Ральф Крониг и Вильям Пенни в 1931 г.

Электрон в кристалле описывается как квазичастица. В отличие от электрона, на который действуют силы со стороны узлов решетки, для квазичастицы решетки не существует. Квазичастица движется с групповой скоростью, квазиволновым числом и квазиимпульсом и имеет эффективную массу, отличающуюся от массы свободного электрона. На квазичастицу действует только внешнее поле по отношению к решетке. Влияние кристалла учитывается эффективной массой и наличием энергетических зон у квазичастицы.

Расщепление уровня при сближении ям. Рассмотрим две δ-образные ямы в точках с энергиями

,

где – борновский параметр,d – параметр с размерностью длины. Для частицы в одиночной яме существует одно связанное состояние (П.3.15)

,

где – расстояние, на котором существенно убывает волновая функция. Энергия частицы (П.3.16)

не зависит от положения ямы.

Две ямы образуют симметричную систему, поэтому существуют линейно независимые четное и нечетноесостояния. При большом расстоянии между ямами

пренебрегаем влиянием соседней ямы на волновую функцию. Для системы ям получаем четную и нечетную суперпозиции

.

Ищем энергии состояний

.

Интегрирование по участкам ,ис разными подынтегральными функциями дает

.

Экспоненциальный множитель описывает туннельный переход частицы между ямами. Уровень одиночной ямы расщепляетсяна уровень четного состояния и уровень нечетного состояния, причем

.

Четный уровень находится ниже нечетного и является основным состоянием. Степень расщепления уровней

возрастает при сближении ям. Благодаря туннельному эффекту частица с течением времени периодически переходит между ямами с периодом

.

Полученные результаты верны и для большого числа ям.

Одномерная решетка имеет периодически расположенные узлы, являющиеся потенциальными ямами или барьерами для электрона. Рассмотрим неограниченную δ-образную решетку барьеров

,

где d – постоянная решетки;  – масса свободного электрона; β – безразмерный параметр, определяющий силу барьера; – параметр с размерностью энергии.

Состояние электрона в решетке получаем из уравнения Шредингера (3.1)

,

где –волновое число. Вне точечных барьеров при уравнение имеет вид

.

На участках 1 и 2 получаем общие решения в виде бегущих в противоположные стороны волн

,

. (3.75)

Учтем периодичность потенциальной энергии.

Волна Блоха. Решетка периодическая, поэтому состояние электрона является собственной функцией оператора трансляции, сдвигающего состояние на период решетки

. (3.75а)

Используя явный вид оператора (2.45) , самостоятельно доказать, что собственное значение оператора, гдеQ – вещественное число. Собственной функцией оператора является функция Блоха

, (3.75б)

где – периодическая функция. Электрон в решетке описывается бегущей волной, распространяющейся с квазиволновым числом Q, в пределах каждого периода волна модулирована функцией . Выполняется и электрон обнаруживается в пределах каждого периода решетки с одинаковым распределением плотности вероятности. Функцию ввел Феликс Блох в 1928 г.

Из (3.75а) получаем

, ,

или

.

С учетом (3.75) находим

,

.

Дисперсионное соотношение. Сшиваем ипри. Условие (3.11) непрерывности функций

дает

. (3.76)

Условие сшивания (3.13) с δ-потенциалом

, ,

с учетом

получает вид

.

Подстановка функций дает уравнение

. (3.77)

Систему уравнений (3.76) и (3.77) для неизвестных Q, изаписываем в канонической форме

,

. (3.78)

Найдем Q из условия совместности системы уравнений. Определитель коэффициентов приравниваем к нулю и получаем дисперсионное соотношение

. (3.79)

Оно связывает квазиволновое число Q, волновое число

,

и энергию электрона Е. Проанализируем (3.79) и найдем допустимые значения волнового числа и энергии электрона в решетке.

Разрешенные и запрещенные зоны. Правая сторона (3.79) в виде функции с аргументом kd показана на рисунке сплошной кривой. Левая сторона ограничена интервалом между пунктирными линиями, тогда

. (3.80)

Области значений kd, удовлетворяющие (3.80), называются разрешенными зонами , и обозначены на горизонтальной оси отрезками толстых линий. Между ними находятсязапрещенные зоны. В результате спектр k и Е дискретный, спектр Q непрерывный.

Верхняя граница разрешенной зоны. С увеличением k разрешенная зона заканчивается в точке при выполнении

, ,,

тогда

, (3.81)

При этом согласно (3.79)

волновое число совпадает с квазиволновым числом

. (3.82)

Выражаем (3.81) через длину волны де Бройля , получаем

.

Результат совпадает с условием максимума отраженной волны Вульфа–Брегга (П.1.2)

для угла скольжения , т. е. при нормальном падении на кристалл.У верхней границы разрешенной зоны электрон испытывает брэгговское отражение и не распространяется по кристаллу. Интенсивности падающей и отраженнойволн сравниваются. Их интерференция создает стоячую волну.

Если при отражении фаза волны не меняется, то стоячая волна четная

,

.

При , гдеN – целое, плотность вероятности , и электроны скапливаются вблизи ионов. Электрическое взаимодействие электрона с ионом

дает вклад в энергию кристалла. При сближении электрона с ионом уменьшается r, энергия кристалла понижается на по сравнению с равномерным распределением электронов.

Если при отражении фаза волны увеличивается на , то стоячая волна нечетная

,

,

электроны скапливаются между ионами, r увеличивается, энергия кристалла повышается на . Это состояние принадлежит следующей разрешенной зоне. Между ними находитсязапрещенная зона шириной .

Электрон как квазичастица. Свободный электрон характеризуется:

массой ,

волновым числом k,

импульсом ,

скоростью v.

В кристалле электрон описывается волной Блоха (3.75б) . На достаточно больших участках кристалла усредняется, бегущая волнарассматривается как свободная квазичастица с параметрами

квазиволновым числом Q,

эффективной массой m*,

квазиимпульсом ,

групповой скоростью V.

Если кристалл находится во внешнем поле, то импульс электрона изменяется под действием поля кристалла и внешнего поля. Квазиимпульс изменяется только внешним полем и описание квазичастицы упрощается.

Зависимость энергии от квазиволнового числа для частных значений степени непроницаемости барьера β.

1. Абсолютно свободный электрон соответствует прозрачному барьеру с . Дисперсионное соотношение

получает вид

,

.

Ограничение для k и Q отсутствует, спектр непрерывный (рис. 1)

.

Электрон обнаруживается в любой точке решетки с одинаковой вероятностью.

2. Абсолютно связанный электрон соответствует непроницаемому барьеру с . Дисперсионное соотношение

имеет смысл при

, ,

тогда

,

Решетка распадается на ямы шириной d с непроницаемыми стенками, спектр дискретный (рис. 2)

.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

3. Приближение сильной связи. Барьеры сильные, , это близко к случаю 2, тогда

, ,

,

.

Из (3.79)

получаем

,

.

Учитывая , находим

,

где использовано разложение при. Подстановка результата вдаетзависимость энергии частицы в зоне n от квазиволнового числа

, (3.83)

где

.

Энергетические зоны. Для верхней границы разрешенной зоны выполняется (3.82) . Предыдущая зона заканчивается при. ТогдаQd в разрешенной зоне n меняется в пределах

.

Для границ разрешенной зоны получаем энергию из (3.83) с учетом

–верхняя граница зоны,

–нижняя граница зоны,

–ширина зоны. (3.84)

Чем больше сила барьера β, тем меньше ширина разрешенной зоны. При ширина зоны равна нулю и получается рассмотренный ранее случай 2.

График для первых двух зон показан на рисунке толстыми сплошными линиями. Верхняя граница зоныкасается параболы(ранее рассмотренный случай 1), показанной пунктиром, где выполняется.

Ширина запрещенной зоны, или энергетической щели:

.

Появление щели объясняется тем, что при возникают два типа стоячих волн – четная ψ₊ и нечетная ψ_–. Уровень, соответствующий исходной бегущей волне, распадается на два уровня, принадлежащих соседним разрешенным зонам.

Первая зона Бриллюэна. С учетом периодичности замена

, ,

не меняет функцию (3.83)

.

Передвигаем левую и правую ветви зоны 2 на ±2π, соответственно. Результат показан толстой пунктирной кривой. Первая и вторая зоны, и аналогично другие зоны, попадают в интервал , называемыйпервой зоной Бриллюэна. Квазиволновое число и квазиимпульс достаточно рассматривать в пределах этой зоны. На краю зоны

, .

При d  310^–8 см энергия края зоны

близка к энергии Ферми электронного газа металла.

Кристалл конечной протяженности. Кристалл длиной L мысленно заменяем множеством идентичных соприкасающихся кристаллов. Тогда волновая функция электрона удовлетворяет периодическому условию Борна–Кармана (3.8)

.

На волну Блоха (3.75б)

накладываем условие периодичности и получаем

.

В результате

, N – целое.

Квазиволновое число квантуется для кристалла конечной протяженности L. При макроскопической протяженности шаг спектра мал

.

Разрешенная зона имеет квазинепрерывный спектр. При расстояние между уровнями.

Скорость квазичастицы является групповой скоростью волны и равна производная энергии по квазиимпульсу

.

Для свободного электрона , групповая скоростьсовпадает со скоростью частицы. Для квазичастицы используем (3.83)

,

получаем

. (3.85)

На краю зоны

, , ,

бегущая волна полностью отражается от кристаллической плоскости согласно формуле Вульфа–Брэгга, образуется стоячая волна, и энергия не перемещается по кристаллу.

В середине разрешенной зоны при скорость максимальна.

Эффективная масса. Согласно второму закону Ньютона

,

инертная масса равна производной импульса по скорости

.

Для квазичастицы в зонеn эффективная масса

,

где учтено . Около минимума функции эффективная масса положительная, около максимума – отрицательная. Рост функции соответствует положительной массе, убывание – отрицательной. Используем (3.85)

,

находим

. (3.86)

Для первой зоны

.

В середине первой зоны

,

где сила барьера β выражена через ширину разрешенной зоны на основании (3.84) .Эффективная масса в середине первой зоны обратно пропорциональна ширине зоны. У края зоны масса отрицательная

.

Если под действием внешней силы квазиимпульс электрона увеличивается, приближаясь к границе зоны, то резко усиливается отраженная волна. Импульс, приходящий к электрону от решетки, направлен против силы и имеет большую величину, поэтому ускорение направлено против силы и масса квазичастицы отрицательная.

Около нижней границы второй зоны |Qd| = π из (3.86) получаем

.

Если внешняя сила увеличивает квазиимпульс и электрон удаляется от нижней границы второй зоны, то отраженная от решетки и идущая навстречу волна ослабевает, и электрон получает дополнительное ускорение в сторону силы. Поэтому масса квазичастицы положительная и меньшая . Для слабого барьера барьераэффективная масса гораздо меньше массы свободного электрона.

В полупроводниках , например, или, эффективная масса электрона на дне второй зоны существенно больше, чем на дне первой зоны. Подвижность электронов, обратно пропорциональная массе, оказывается меньшей во второй зоне, чем в первой. В результате переход электрона под действием внешнего возмущения в виде сильного электрического поля из первой зоны во вторую приводит к уменьшению силы тока. Это явление отрицательного дифференциального сопротивления лежит в основеэффекта Ганна (1963 г.), состоящего в генерации высокочастотного тока кристаллом при подаче на него постоянного напряжения.

Метод эффективной массы рассматривает электрон в кристалле и во внешнем поле как квазичастицу с эффективной массойm* в поле . Решетка кристалла учитывается через эффективную массу квазичастицы. Используем определения

,

.

При малом , т. е. около середины первой зоны, функцию энергии разлагаем в ряд Маклорена и оставляем первые три слагаемые. Получаем дисперсионное соотношение

.

Учитываем , выбираем начало отсчета энергиии получаем соотношение между энергией и импульсом

,

совпадающее с выражением для свободной частицы. Следовательно, для квазичастицы нет поля кристалла. В середине зоны Бриллюэна квазичастица описывается постоянной эффективной массой m*, импульсом и гамильтонианом

.

Стационарное уравнение Шредингера во внешнем полеимеет вид

. (3.87)

Рассмотрим отклонение от идеального кристалла, вызванное примесным атомом внедрения.