Примеры

1. Автоэлектронная эмиссия – прохождение электрона с энергией Е из металла в вакуум под действием внешнего электрического поля напряженностью E.

При образовании кристаллической решетки простого металла (элементы таблицы Менделеева с электронами на s- и p-оболочках) слабосвязанные валентные электроны отрываются от атомов, становятся свободными и при низкой температуре имеют полную энергию , где– энергия Ферми типичного металла. При низкой температуре длина свободного пробега электрона ~межатомных расстояний, или около 1 см. На границе металл–вакуум на электрон действуют возвращающие силы со стороны нескомпенсированных положительных ионов решетки и электронного облака, окружающего металл. Объем металла для электрона является потенциальной ямой сработой выхода . Тепловая энергияактивизирует электроны лишь вблизи уровня Ферми и основная масса электронов не может покинуть металл. Если металл поместить в электрическое поле, то график потенциальной энергии наклоняется. Ширина потенциального барьера становится конечной и происходит туннельный эффект, называемыйхолодная или автоэлектронная эмиссия. Явление обнаружил Роберт Вуд в 1897 г., исследовали Ральф Фаулер и Лотар Нордгейм в 1928 г.

Однородное поле создает при распределения потенциала

.

Потенциальной энергии электрона

.

Протяженность барьера на уровне Ферми получаем из условия

,

тогда

.

Вводим работу выхода

,

находим

.

Из (3.73)

получаем

,

где

.

Заменяем и находим

,

коэффициент прохождения

, (П.4.1)

где эффективное задерживающее поле

.

Плотность потока электронов, подходящих из объема к поверхности металла при температуре T дает распределение Максвелла:

,

где ;. Плотность электрического тока автоэлектронная эмиссия серебра

.

Приведенный на рисунке сплошной линией график потенциальной энергии не учитывает поляризацию электроном металлической поверхности, от которой он находится на расстоянии x. Изображение электрона имеет заряд , располагается на расстоянииx за поверхностью металла и действует на электрон с силой притяжения . Сила направлена влево, ее потенциальная энергия

увеличивается слева на право. Результирующая потенциальная энергия

показана на рисунке пунктирной линией. В результате работа выхода W уменьшается.

Автоэлектронная эмиссия используется в электронных микроскопах, рентгеновских трубках, приемниках инфракрасного излучения.

2. Рассеяние на ступенчатом барьере. Найти коэффициент прохождения барьера частицей с энергией. Рассмотреть рассеяние в прямом и обратном направлениях.

На графике выделяем область 1 прии область 2 при. Для каждой области стационарное уравнение Шредингера

,

где

,

имеет общее решение

.

При падении частицы на барьер с левой стороны получаем частные решения в виде падающей, отраженной и проходящей волн

,

, ,

, .

Граничные условия (3.11) и (3.12) при

,

,

где , дают

,

.

Подставляем решения и получаем

,

.

Из системы уравнений находим амплитуды отражения и прохождения

, . (П.4.2)

Коэффициент отражения

.

Коэффициент прохождения получаем из условия унитарности (3.72)

.

Частные случаи:

При

, – полное отражение.

При

.

При разлагаем решение в ряд по аргументуи получаем

.

Обращение движения соответствует замене

,

тогда

.

Из (П.4.2) получаем

,

. (П.4.3)

Функции R(E) и T(E) не меняются. При обращении движения частицы через барьер коэффициенты отражения и прохождения не изменяются. Это следует из инвариантности уравнения Шредингера при обращении времени, означающей равенство вероятностей взаимообратимых процессов.

Независимость коэффициента отражения от направления движения парадоксальна с точки зрения классической физики. Действующая на частицу сила при направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии – влево на первом рисунке и вправо на втором, а частица в обоих случаях отражается влево. Классическая физика в данном случае не применима, поскольку квазиклассическое приближение не дает правильного результата при малой ширине скачка потенциала по сравнению с длиной волны де Бройля.

3. Рассеяние на локальных барьерах. Частица с волновым числом k проходит через барьеры 1 и 2, сосредоточенные при и. Амплитуду прохождения системы барьеровt выразить через амплитуды прохождения ,и отражения,каждого из барьеров по отдельности.

Используем амплитуды бегущих волн около барьера. Фиксируем падающие волныи, тогда для локальных барьеров

, ,

, .

Для системы барьеров

,

где учтен набег фазы при перемещении волны между входом и выходом.

Падающая волна в промежутке между барьерами складывается из волныи волны, отразившейся от барьера 1, тогда

,

где учены изменения фаз волн на пути между барьерами и амплитуда отражения волныот барьера 1. Из последнего уравнения находим

и получаем

,

откуда

. (П.4.4)

Для комплексного числа выполняется соотношение

.

Полагаем

, ,,

находим коэффициент прохождения

, (П.4.4а)

где

; ;

;

; .

Для симметричной системы барьеров

,

,

из (П.4.4а) получаем

. (П.4.4б)

Если энергия частицы удовлетворяет условию резонанса

, , (П.4.4в)

то ,,исистема барьеров не отражает частицу при любом . В этом случае волны, отраженные от двух барьеров, при сложении интерферируют и гасят друг друга.

Вдали от резонанса при из (П.4.4а) получаем

.

При малой проницаемости барьеров ,находим

.

3. Рассеяние на прямоугольном барьере. Для частицы с энергией найти коэффициент прохождения барьераПолучить условие отсутствия отражения. Рассмотреть туннельный эффект при, и перевернутый барьер. Система реализуется на практике при контакте двух металлов, разделенных диэлектриком или полупроводником.

Стандартное решение. Выделяем области 1, 2 и 3. Из уравнения Шредингера

,

получаем

, ,

, ,

с неизвестными r, t, a, b. Используем условия сшивания

, ,

, .

Получаем систему алгебраических уравнений

,

,

,

Решив их и вычислив t, найдем

.

Вычисления громоздкие. Рассмотрим другой путь.

Решение на основе системы барьеров. Барьер рассматриваем как состоящий из двух ступенчатых барьеров с своими амплитудами прохождения и отражения. Для левого барьера используем (П.4.2)

, ,

для правого барьера – (П.4.3)

, .

Для системы барьеров – (П.4.4)

.

Подстановка дает амплитуду прохождения системы барьеров

. (П.4.5)

Для вычисления коэффициента прохождения используем

с вещественными

, , , .

Находим коэффициент прохождения системы барьеров

, (П.4.6)

где параметры ε и ν в единицах описывают энергию частицы и высоту барьера, выраженные в электрон-вольтах:

;

.

При энергия частицы равна высоте барьера, и из (П.4.6) получаем

. (П.4.6а)

На рисунке показана зависимость коэффициента прохождения от энергии частицы для барьера шириной 5 нм, высотой 1,51 эВ.

Частные случаи:

При ,имеем–туннельный эффект.

При ,,, ... функция синуса равна нулю, получаем–резонансное прохождение без отражения.

Резонансное прохождение. Частица с энергией не отражается

.

Из (П.4.6)

получаем

,

тогда

, ,

,

длина волны де Бройля удовлетворяет условию

(П.4.6б)

– в пределах барьера укладывается целое число полуволн и возникает квазисвязанное состояние с энергией

.

Падающая волна проходит барьер и набирает ход , часть волны в результате отражений проходит путь три раза и набирает ход. Волны интерферируют с разностью хода. Если длина волны де Бройля электрона удовлетворяет условию максимума интерференции , где , то выполняется (П.4.6б), и выходящие из барьера волны усиливаются. Внутри барьера образуется квазисвязанное состояние и частица там задерживается. Она делает неограниченное число попыток пройти барьер и достигается . В оптике прохождение барьера без ослабления света называется просветлением оптики.

Туннельный эффект происходит при .

Уравнение Шредингера для областей 1, 2, 3 дает

, ,

,

;

, ,

.

Для коэффициента прохождения используем (П.4.6)

.

Сравниваем

, ,

получаем

.

Учитываем

,

где использовано

, .

Находим

, (П.4.7)

где

;

.

Для сильного барьера с учетом

из (П.4.7) получаем

. (П.4.8)

Выражение (П.4.8) согласуется с квазиклассическим результатом (3.73а)

с точностью до множителя перед экспонентой.

Рассеяние на прямоугольной яме.

Используем (П.4.6) с заменой . Получаем

.