Примеры

1. Найти энергии и волновые функции двух первых состояний линейного гармонического осциллятора вариационным методом.

Волновая функция основного состояния не имеет нулей и при обращается в нуль, поэтому выбираем

.

Условие нормировки

дает

.

Из (6.48)

с учетом

получаем функционал энергии

=,

.

Использовано

,

.

Из условия экстремума

находим

.

Энергия основного состояния

и волновая функция

,

совпадают с точными выражениями.

Для первого возбужденного состояния пробная функция  ортогональна четной функции ₀ . Выбираем нечетную функцию

,

обеспечивающую

.

Нормировка дает

.

Функционал (6.48)

,

.

Условие экстремума

дает

.

Для первого возбужденного состояния получается точный результат.

,

.

2. Доказать, что сколь угодно слабая одномерная потенциальная яма

,

имеет по крайней мере одно связанное состояние.

Основное состояние с минимальной энергией четное и нормированное, выбираем его в виде

, .

Ослабление ямы означает уменьшение ее глубины, при этом функция убывает с ростом x все медленнее. Следовательно, ослабление ямы приводит к уменьшению a, при неограниченном ослаблении . Условие нормировки

дает

.

Учитываем

,

,

.

Вычисляем

,

получаем

.

При уменьшении a первое слагаемое в скобке уменьшается, второе – увеличивается. При достаточно малом а пренебрегаем первым слагаемым, тогда

.

Согласно (6.49)

энергия не может быть меньше энергии основного состояния

.

Следовательно, основное состояние с энергией связанное.

179