Кулоновское и магнитное взаимодействия зарядов как результат обмена фотоном

Квантовая механика объяснила возникновение силы Кулона и силы Ампера, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния между зарядами, как результат обмена виртуальными фотонами. Заряд окружен облаком виртуальных фотонов, которыми он обменивается с другими зарядами.

Рисунок показывает взаимодействие электронов 1 и 2 путем обмена виртуальным фотоном во втором порядке теории возмущений. Сила взаимодействия пропорциональна числу обменов. Плотность фотонов, испущенных электроном, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Эта зависимость определяет число обменов и объясняет закон взаимодействия .

На рисунке показан 4-вектор импульса

,

где q – импульс, – энергия. В вершинахA и B выполняются законы сохранения энергии и импульса

A: ,;

B: ,.

Уравнения в каждой строке возводим в квадрат и взаимно вычитаем, предварительно умножив уравнение для импульсов на квадрат скорости света С. Для реальных частиц учитываем соотношение между импульсом и энергией

, .

Получаем

,

.

Левые стороны одинаковые, приравниваем правые стороны и получаем

.

В системе отсчета центра масс выполняется

,

тогда

, .

Энергия виртуального фотона равна нулю, но он переносит импульс и силовое воздействие. В релятивистской динамике энергия частицы и модули скорости и импульса связаны соотношением

.

Для фотона с получаем.Фотон испускается одним электроном и поглощается другим электроном в один и тот же момент времени, сила взаимодействия передается мгновенно. Полученный вывод подтвержден экспериментально для электромагнитного поля в ближней зоне магнитного диполя с переменным током. В дальней зоне фотоны радиационного поля являются реальными, переносят импульс и энергию в вакууме со скоростью светаи имеют.

Зависящее от времени возмущение

На стационарную невырожденную систему с дискретным спектром действует возмущение при. В первом порядке теории возмущений энергетические уровни не изменяются, возникают переходы электрона между уровнями. Получим вероятность перехода.

Невозмущенные стационарные состояния

, ,

удовлетворяют волновому и стационарному уравнениям Шредингера

,

,

и условиям ортонормированности

,

.

Суперпозиция невозмущенных состояний

(6.30)

имеет неопределенную энергию и удовлетворяет волновому уравнению Шредингера

. (6.31)

Вероятность обнаружения системы на уровне k с энергией равна

, (6.32)

где –амплитуда вероятности обнаружения системы на уровне k.

Возмущенное состояние удовлетворяет уравнению

, (6.33)

где . Решение ищем в виде разложения по базису невозмущенных состояний

с зависящими от времени коэффициентами

. (6.34)

Для нахождения коэффициента подставляем (6.34) в (6.33). Учитываем

,

,

и получаем уравнение

.

Искомые величины , где

Проектируем уравнение на орт . Для этого умножаем уравнение слева на, интегрируем по объему и используем

,

.

Получаем уравнение для коэффициентов

, (6.35)

где матричный элемент возмущения

;

(6.36)

– боровская частота перехода с уровня k на уровень n; – амплитуда вероятности обнаружения системы на уровнеn в момент t; вероятность обнаружения системы на уровне n в момент t

.

Согласно (6.35) быстрота изменения амплитуды вероятности обнаружения системы на уровне n определяется переходами со всех уровней k.

Искомый коэффициент

, (6.37)

где – амплитуда вероятности обнаружения системы на уровне n до начала действия возмущения; – поправка, вызванная возмущением. Возмущение начинает действовать при, поэтому. Найдем,используя теорию возмущений.

Первый порядок теории возмущений. Подставляем (6.37) в (6.35), и ограничиваемся первым порядком возмущения

.

Интегрирование по t в пределах с учетомдает

. (6.38)

Переход между состояниями. Если при система находилась в состоянииm, тогда

и (6.37) дает

,

где

– амплитуда вероятности перехода в моментt. Правый индекс m соответствует начальному состоянию, левый – конечному. Из (6.38) получаем

. (6.39)

Вероятность перехода , т. е. вероятность обнаружения системы в состоянии n в момент , если при было состояние, равно

. (6.39а)

Независимый от времени матричный элемент. Если не зависит от времени, то из (6.39) получаем

.

С учетом

.

из (6.39а) находим

, (6.40)

где функция

показана на рисунке.

Функция быстро убывает с увеличением частоты, поэтому переходы ограничены центральным максимумом. Если в этом интервале матричный элементи плотность состояний с квазинепрерывным спектромостаются постоянными, то вероятность переходов с уровняm получаем интегрированием по энергии вероятности (6.40), умноженной на плотность состояний. С учетом и

,

находим вероятность всех возможных переходов с уровня m

.

Для вероятности переходов за единицу времени получаем золотое правило Ферми

. (6.40а)

Число систем в состоянии m. Пусть при имеетсянезависимых систем в состоянииm. Быстрота изменения числа систем в этом состоянии в момент t > 0 пропорциональна вероятности перехода одной системы и числу систем

,

тогда

, .

Для независящего от времени матричного элемента используем (6.40а)

, ,

тогда

,

получаем

. (6.40б)

По истечении времени жизни τ число систем в состоянии m уменьшается в е раз за счет переходов в интервал энергии . Согласно соотношению неопределенностей между энергией и временем

.

Зависимый от времени матричный элемент . По истечении большого промежутка времени t интегрирование в (6.39)

проводим в бесконечных пределах

, (6.40а)

где фурье-образ возмущения на частоте перехода

. (6.40б)

Амплитуда перехода при пропорциональна фурье-образу возмущения на частоте перехода. Вероятность перехода

. (6.40в)

По истечении большого промежутка времени вероятность перехода системы с уровня m на уровень n пропорциональна квадрату модуля фурье-образа возмущения на частоте перехода.