Ток вероятности

Плотность вероятности обнаружения частицы около точки r

зависит от времени. Вероятность обнаружить частицу во всем пространстве неизменна

.

Следовательно, вероятность перетекает из одного места в другое. Введем плотность тока вероятности и соответствующий оператор.

Плотность тока вероятности j умножаем на заряд частицы e и получаем плотность электрического тока

.

Для тока многих частиц

,

где – заряд, проходящий за 1с через единичное поперечное сечение проводника; n – концентрация частиц. Тогда плотность тока вероятности для одной частицы выражается через скорость

. (2.70)

Плотность тока вероятности. Используем оператор скорости

,

где

.

Для частицы в состоянии определяем плотность тока вероятности

, (2.71)

где использовано

.

Вектор выражаем через декартовые компоненты

,

тогда

. (2.72)

Уравнение непрерывности тока вероятности. Используем

,

.

Из уравнения Шредингера (2.54)

,

,

тогда

.

Используем (2.72)

.

В первая круглая скобка равна, и аналогично для остальных скобок. В результате получаем уравнение непрерывности тока вероятности

, (2.73)

где divj – дивергенция плотности тока является потоком из единичного объема. Согласно (2.73) поток из объема уменьшает вероятность в этом объеме. Следовательно, уравнение Шредингера описывает систему, у которой нет источников и стоков частиц.

Ток вероятности для частицы с импульсом р. В состоянии плоской волны

плотность вероятности

распределена равномерно по всему пространству. В состоянии равномерного движения частица обнаруживается в любой точке пространства с равной вероятностью.

Из (2.72)

находим

,

,

что согласуется с (2.70).

Плотность электрического заряда и тока для частицы с зарядом е равны

,

.

При равномерном движении заряда используем и получаем известное соотношение

.

Из уравнения непрерывности (2.73) следует закон сохранения заряда в дифференциальной форме

.

Ток вероятности в стационарном состоянии. Используем (2.63)

,

где вещественные A – амплитуда волны; β – фаза. Находим плотность вероятности

,

плотность тока вероятности (2.71)

.

Учитываем

,

получаем

.

Используем

, ,

находим

,

,

. (2.74)

Для стационарного состояния волновой вектор равен градиенту фазы волновой функции, плотность тока вероятности пропорциональна плотности вероятности и градиенту фазы волновой функции. Если фаза  в разных точках одинаковая, то ,.

Согласно (2.73) выполняется

– в стационарном состоянии поток вероятности из любого объема равен нулю.

Матрица плотности

Если нет полной информации о системе, то она не имеет волновой функции и описывается матрицей плотности, введенной Л.Д. Ландау и Дж. фон Нейманом в 1927 г.

Чистое и смешанное состояния. Чистое состояние описывается волновой функцией. Для смешанного состояния известна лишь вероятность того, что состояние описывается одной из возможных волновых функций. Между этими функциями не определены фазовые соотношения и отсутствует интерференция. Например, если параметр системы измерен не точно, то состояние смешанное иявляется вероятностьюi-ого значения параметра. Так, если в атоме водорода положение протона не фиксировано, то электрон находится в смешанном состоянии. Если протон неподвижен или его движение упорядочено, то состояние электрона чистое. Чистое состояние разлагается по ортонормированному базису с коэффициентами, которые могут регулярно изменяться. Если коэффициенты изменяются беспорядочно, то состояние смешанное. Чистое состояние переходит в смешанное в процессе декогеренции системы, когда она взаимодействует с объектом, испытывающим хаотические изменения, например, с макроскопическим телом. Декогеренция ускоряется с увеличением размеров квантовой системы, с ростом числа ее частиц. Система в чистом состоянии должна быть изолирована от окружающих тел и хаотически меняющихся полей путем охлаждения, вакуумирования и экранирования. Уменьшение декогеренции необходимо для квантового компьютера, квантовой криптографии, квантовых коммуникаций. Смешанное состояние описывается матрицей плотности, чистое состояние – как волновой функцией, так и матрицей плотности.

Матрица плотности чистого состояния. Состояние разлагаем по собственным функциямнекоторого эрмитового операторас дискретным спектром

и описываем набором коэффициентов . Для среднего значения величиныa получаем

, (2.76)

где –матричный элемент оператора между состояниямиn и m.

Определяем матрицу плотности  с элементами

, (2.77)

тогда

, (2.78)

где

–шпур (от нем. die Spur – «след») – сумма диагональных элементов матрицы;

является вероятностью обнаружения состояния n в состоянии .

Пример. При общем количестве состояний

,

,

где

;

;

–вероятность результата .

Наличие интерференционного слагаемого означает, что₁ и ₂ в составе чистого состояния взаимно согласованы по фазе, т. е. когерентны, и их интерференция влияет на результат.

Матрица плотности смешанного состояния. Для смешанного состояния коэффициенты разложения зависят от не полностью определенного параметра состояния j, принимающего ряд значений. В (2.76) появляется дополнительное усреднение по j

,

где – вероятностьj-ого значения. Определяем матрицу плотности в виде среднего по j

. (2.79)

Диагональный элемент матрицы плотности дает вероятность состояния

,

где является вероятностью состоянияв компонентеj смешанного состояния. Недиагональные элементы (2.79) характеризуют корреляцию состояний m и n.

Среднее значение (2.78) получает вид

.

Пример. При ,

.

Интерференционный член отсутствует, поэтому волновые функции компонент и смешанного состояния не когерентные.

Свойства матрицы плотности. Выполняются:

Условие нормировки

. (2.80)

Условие эрмитовости

. (2.81)

Признак чистого состояния

. (2.82)

При нарушении (2.82) состояние смешанное.

Уравнение фон Неймана

(2.83)

является аналогом уравнения Шредингера для смешанного состояния.

27