Уравнение Шредингера

Волновая функция частицы, описываемой гамильтонианом, находится изволнового уравнения, которое получил Эрвин Шрёдингер в 1926 г. Если потенциальная энергия не зависит от времени, то полная энергия Е постоянна, зависимости от координат и времени разделяются , где. Функциянаходится из стационарного уравнения Шредингера.

Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов теорий при больших значениях квантовых чисел.

Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:

.

Переходим к операторам

,

,

,

где

–оператор градиента,

–оператор Лапласа.

Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона

. (2.53)

Волновое уравнение Шредингера. Из (2.52) и (2.53) получаем для уравнение

. (2.54)

Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени

,

то полная энергия E сохраняется, состояние системы стационарное и характеризуется параметром Е. В (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены, решение ищем в виде

. (2.55)

Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , переменные разделяются

.

Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому равны постоянной Е.

В уравнении

разделяем переменные

,

интегрируем и находим

. (2.56)

Для получаемстационарное уравнение Шредингера

. (2.57)

Уравнение (2.57) с учетом является уравнением на собственную функцию оператора гамильтона

, (2.58)

следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то (2.57) для получает вид

. (2.59)

Уравнения (2.57) и (2.59) позволяют найти значения энергии и соответствующие функции состояний, если заданы граничные условия.

Стационарное состояние

(2.60)

периодически зависит от времени как с частотой, пропорциональной энергии:

. (2.61)

Для свободной частицы при получаем зависимость частоты от волнового числа –закон дисперсии

. (2.61а)

Координатная часть волновой функции стационарного состояния выражается в общем случае через вещественные функции – амплитуду A и фазу β

. (2.63)

Плотность вероятности

.

Быстрота Изменения величины

Среднее значение физической величины изменяется со временем по двум причинам:

1. из-за зависимости оператора величины от времени;

2. из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.

Оператор производной по времени. Среднее значение величины (2.28)

изменяется с быстротой

.

Учитываем уравнение Шредингера (2.54)

,

,

получаем

.

Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым

. (2.66)

Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени

. (2.67)

Рассмотрим пример.

Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем

. (2.67а)

Используем

,

,

находим

.

На практическом занятии доказывается

,

тогда

. (2.67б)

Оператор скорости связан с оператором импульса классическим соотношением, что подтверждает правило соответствия.

Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию

.

Если оператор не зависит от времени , тогда

. (2.68)

Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.

Стационарное состояние Ψ для величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени, характеризуется тем, что в этом состоянии среднее значениеa постоянно

.

Если , то с учетом (2.66)

получаем условие на Ψ

. (2.69)

Величина а стационарна в состоянии, для которого среднее значение коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю. Под действием оператора состояние Ψ преобразуется во взаимно ортогональное состояние.