L. 514. «Электротехника» Аксютин В.А.

Примеры расчёта переходных процессов в цепях второго порядка.

7. Включение последовательного rlc - контура на постоянное напряжение

Рассчитать переходный процесс, протекающий при включении RLC- цепи к источнику постоянного напряжения E (рис. 1а) при заданных параметрах E, R, L и C. Определить критическое сопротивление - R_КР.

a б с

Рис. 1

Процесс описывается неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, составленным по второму закону Кирхгофа

E = i R + + u_C (1)

i = i_C = (2)

Объединив два соотношения в (1) и (2), получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для определения напряжения на ёмкости

+ + u_C = E_:. (3)

Ток определим по соотношению (2), а напряжение на индуктивности:

u_L =L . (4)

Решение дифференциального уравнения (3) проведём классическим методом.

1. Запишем общее решение искомого напряжения на ёмкости:

u_C(t)= u_{C ПР}(t)+ u_{C СВ}(t). (5)

2. Определим принуждённую составляющую u_CПР(t) по схеме замещения, для установившимся режима после коммутации при t=∞ рис. 1б,

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа;

Е₂ = u_{R ПР} + u_{L ПР} + u_{C ПР}

учтём, что u_{R ПР}= 0 и u_{L ПР}= 0, откуда u_{C ПР} = Е (6)

3. Находим свободную составляющую u_{C СВ}(t).

3.1. Составим характеристическое уравнение.

_{По схеме замещения рис. 1в определим входного сопротивление цепи относительно разрыва в ветви цепи и приравняем его нулю:}

Z_BX = R + p L + = 0,

p² + р += 0 (7)

Найдём корни уравнения (7):

p_1,2 = −  = − _, (8)

где D = дискриминант уравнения(7). (9)

В зависимости от D решение для свободной составляющей напряжения на емкости имеет три различных выражения:

1. D > 0, два действительных отрицательных корня – p₁ и p₂, процесс апериодический, кривая 1 рис. 2.

u_{C СВ}(t) = A₁e^p1t + A₂e^p2t; (10)

2. D < 0, два комплексно сопряженных корня - p₁₂= – δ ± j ω_СВ, процесс колебательный, кривая 2 рис. 2.

u_{C СВ}(t) = Ae^-δt siu(ω_СВ t+Ψ); (11)

3. D = 0, два равных действительных отрицательных корня - p₁₂ = p, процесс критический, кривая 3 рис. 2.

u_{C СВ}(t) = (A₁ + A₂t) e^pt. (12)

В (10)…(12) A, A₁, A₂ и - постоянные интегрирования, δ- коэффициент затухания колебательного процесса, ω_СВ - частота собственных затухающих или свободных колебаний цепи.

Для исследуемой схемы из (9) можно найти значение сопротивления R, при котором значение D = 0. Такое сопротивление называется критическим R_КР и определяется выражением

R_КР = 2. (13)

Для колебательного процесса коэффициенты δ и ω_СВ связаны между собой, а также с параметрами цепи следующими соотношениями:

δ = ; (14)

ω_СВ =, (15)

где ω₀ = - резонансная угловая частота последовательного колебательного контура.

B

u_{C СВ}

u_{C СВ}(0)

1

2

0

t

C

3

Рис. 2

3.2. Определяем постоянные интегрирования.

3.2.1. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для искомого тока или напряжения и их производных. Так, общее решение для напряжения на емкости при колебательном режиме при D < 0 получаем систему из двух уравнений:

u_C (t)= u_{C ПР}(t) + Ae^-δt siu(ω_СВ t+Ψ);

и для производной

u^′_C (t)= u^′_{C ПР}(t) + A δ e^-δt siu(ω_СВ t+Ψ) + A ω_СВ e^-δt cos(ω_СВ t+Ψ)

_{Запишем эту систему для t=0+}

u_C (0)= u_{C ПР}(0) + A siu(Ψ);

u^′_C (0)= u^′_{C ПР}(0) + A δ siu(Ψ) + A ω_СВ cos(Ψ) (16)

3.2.2. Определяем независимые начальные значения:

До коммутации источник отключен, ток равен нулю и напряжение на ёмкости положим также равное нулю:

i(0_–) = i_L(0_–) = i_L(0₊)=0 и u_C(0_–) = u_C(0₊) = 0. (17)

3.2.3. Определяем зависимые начальные значения u^′_C (0₊) по законам Кирхгофа, составленным для исследуемой цепи сразу после коммутации в момент времени t=0₊ , в которые подставляются законы коммутации.

E = R i (0₊) + u_L (0₊) + u_C (0₊). (18)

Из (2) с учетом (17) определим: u′_C (0₊) = = 0. (19)

Из (18) следует, что

u_L (0₊)=E = L i^′ (0₊); i^′ (0₊) = E / L; (20)

3.3.4. Подставив начальные значения в систему уравнений (16) с учётом (18) и (19) получим постоянные интегрирования

0 = E + A siu(Ψ);

0 = 0 + A δ siu(Ψ) + A ω_СВ cos(Ψ) (21)

Решая (21) получим:

Ψ = arctg и A = – . (22)

4. Записываем полное решение для искомой величины x (t).

В нашем примере напряжения u_C (t) и строим график процесса (рис. 3).

u_C (t)= E – e^-δt siu[ω_СВ t+ arctg(–ω_СВ / δ)]; (23)

i = i_C = _и u_L =L .

Рис. 3

На рис. 3…5 изображены графики переходных процессов для напряжения на ёмкости , напряжения на индуктивности и тока в цепи , где кривые 1 соответствуют апериодическому переходному процессу, кривые 2 соответствуют колебательному переходному процессу, кривые 3 соответствуют критическому переходному процессу.

A

0.02

t

0.01

t

C

0

1

3

-0.01

2

0.003

0.002

0.006

Рис. 4 Рис. 5

На рис. 5 проведены графики тока в цепи и показано как по графику, соответствующему колебательному переходному процессу (кривая 2), можно определить составляющие корней характеристического уравнения: коэффициент затухания , где t - постоянная времени, равная длине подкасательной к огибающей кривой свободных колебаний; частота свободных затухающих колебаний тока или напряжения , где - период колебаний. Для оценки скорости затухания процесса вводится декремент колебания -a, равный отношению свободных составляющих переходной величины в моменты времени, отличающиеся на период .

. (24)

При этом - называется логарифмическим декрементом колебания, из чего можно определить коэффициент затухания:

. (25)