3. Применение симплекс-метода для решения задач линейного программирования

В реальных задачах, где число ограничений велико, ОДР имеет большое количество вершин, поэтому используются методы направленного перебора, где на каждом шаге оптимизации при переходе к новой вершине улучшается значение целевой функции. К наиболее известным аналитическим методам относится симплекс-метод, который был разработан Г. Данцигом в 1947 году [1,2,7]. Симплекс-метод лежит в основе компьютерной реализации решения задач линейного программирования. Название метода произошло от понятия "симплекс", встречающегося в геометрии. Для того, чтобы решить задачу линейного программирования симплекс-методом, математическую модель необходимо привести к стандартной (расширенной) форме.

В стандартной форме целевая функция должна быть минимизирована, а ограничения представлены в виде равенств с неотрицательными переменными. Исходя из этих правил, можно представить стандартную форму записи математической модели задачи рационального распределения ресурсов (2.2-2.5), рассмотренной выше:

, (2.8)

где W₃,W₄ – в данном случае определяют разницу между располагаемым и потребляемым ресурсами, т.е. запас ресурса.

Перед тем, как представить алгоритм симплекс-метода, необходимо ввести ряд определений:

• в системе (2.8) количество неизвестных превышает количество уравнений, поэтому она имеет множество решений, из которых любое неотрицательное решение называется допустимым;

• если приравнять к нулю две произвольные переменные в системе (2.8), то может быть получено единственное решение, которое называется базисным (в общем случае в системе из m уравнений с n неизвестными следует приравнять к нулю (n-m) неизвестных);

• (n-m) переменные, которые приравнены к нулю, называются свободными, а оставшиеся переменные – базисными или базисом.

При выполнении контрольной работы подробнее остановимся на табличной реализации симплекс-метода. Табличный способ реализации симплекс-метода предполагает выполнение ряда однотипных операций, связанных с преобразованием таблиц специального вида. Эти действия легко алгоритмизируются и используются как основа в программных комплексах решения оптимизационных задач линейного программирования..

Особенности алгоритма табличных преобразований рассмотрим на примере той же задачи рационального распределения ресурсов, решение которой было предложено графическим методом.

На первом этапе необходимо преобразовать математическую модель, представленную системой уравнений (2.8), таким образом, чтобы выразить базисные переменные через свободные. В опорном (начальном) решении базисные переменные соответствуют W₃,W₄, а свободные W₂=0, W₁=0, тогда система примет вид:

,

(2.9)

базис и решение свободные переменные

целевая

функция

От аналитической записи (2.9) можно перейти к более наглядному представлению в виде симплекс-таблицы [1], первоначальное заполнение которой выделено жирным шрифтом в таблице 2.2.

Таблица 2.2

№	Целевая функ-	Свободные члены	Свободные переменные
строки	ция, базис	уравнений	-W1	-W2
i=1	F	0 -14000	15 -10	20(-) -40
i=2	W3	300 -175	0,4 -0,125	0,25(-) -0,5
i=3	W4	350() 700	0,25() 0,5	0,5 =2
Номер столбца		А0	А1	А2

Введем ряд правил, связанных с заполнением и анализом симплекс-таблиц:

• Правило заполнения: в верхний левый угол каждой клетки заносится соответствующие значения свободных членов и коэффициентов уравнений (2.9).

• Правила анализа:

  • решение является допустимым, если элементы столбца свободных членов, соответствующие базисным переменным, неотрицательны;

  • решение является оптимальным, если в строке коэффициентов целевой функции F' содержаться только неположительные переменные (для стандартной формы представления модели, когда ).

Алгоритм табличной реализации симплекс-метода включает в себя последовательность итераций, на каждой из которых производится выбор и обмен базисных и свободных переменных, а также анализ полученного текущего решения.

1 итерация состоит из следующих шагов:

• Выбор разрешающего столбца.

Разрешающий столбец соответствует той свободной переменной, которая переводится в базис. В качестве разрешающего выбирается столбец свободных переменных, содержащий максимальный положительный коэффициент. На данной итерации это столбец W₂, который помечается двойной чертой (таблица 2.2);

• Выбор разрешающей строки.

В качестве разрешающей выбирается строка базисных переменных, в которой минимальным по модулю является отношение свободного члена и коэффициента этой строки, соответствующего разрешающему столбцу. В данном случае при разрешающем столбце W₂ это соотношение вида – А0_i/А1_i:

для i=2 (строка W₃) 300/0,25 = 1200,

для i=3 (строка W₄) 350/0,5 = 700.

Таким образом, разрешающей строкой является W₄ (строка i=3), которая помечается двойной чертой (таблица 2.2).

• Заполнение нижних правых углов таблицы.

Правила заполнения:

• на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится коэффициент А _{i j}, в данном случае равный 0,5, вычисляется генеральный коэффициент:

 = 1/А _{i j} = 1/0,5 = 2 – записывается в нижний угол клетки;

• в нижний угол каждой клетки разрешающей строки записывается произведение верхнего коэффициента этой клетки на ;

• в нижний угол каждой клетки разрешающего столбца записывается произведение верхнего коэффициента этой клетки на (-);

• выделяются в разрешающем столбце нижние коэффициенты, а в разрешающей строке – верхние;

• в нижний угол всех оставшихся клеток записывается произведение выделенных коэффициентов, которые находятся том же столбе и строке, что и вычисляемый элемент.

Результаты заполнения, произведенного по данным правилам, представлены в таблице 2.2 (выделены курсивом).

• Получение таблицы текущего решения (табл.2.3), соответствующей обмену , переменным разрешающей строки и столбца.

Правила формирования таблицы текущего решения:

• в верхний угол разрешающей строки и столбца заносятся коэффициенты, стоящие в нижнем углу этих клеток предыдущей таблицы 2.2 без изменения;

• в остальные клетки записывается сумма чисел, стоящих в верхнем и нижнем углах аналогичной клетки предыдущей таблицы 2.2.

В результате преобразований, проведенных по этим правилам, получим таблицу 2.3 (выделены жирным шрифтом).

Таблица 2.3

Целевая функция	Свободные члены	Свободные переменные
базис	уравнений	-W1	-W4
F	-14000 -2272,5	5(-) -18,18	-40 9,09
W3	125() 454,5	0,275 =3,62	-0,5() -1,82
W2	700 -227,25	0,5(-) -1,818	2 0,909

Текущее решение соответствует столбцу свободных членов:

W₁ = 0, W₂ = 125,

W₄ = 0, W₃ = 700, F' = -14000

Анализ полученного решения проводим в соответствие с приведенными выше правилами: это решение допустимое, но не оптимальное, т.к. коэффициент в строке целевой функции при W₁ > 0, следовательно необходим переход к новому базису и вторая итерация.

2 итерация включает в себя аналогичные шаги:

• разрешающий столбец – W₁, помечаем двойной чертой;

• разрешающая строка – W₃ (помечаем двойной чертой)

строка W₃ 125/0,275 = 454.4 – минимальное отношение

строка W₄ 700/0,5 = 1400;

• генеральный коэффициент = 1/0,275 = 3,62;

• разрешающую строку умножаем на 

• разрешающий столбец умножаем на (-);

• помечаем верхние коэффициенты в разрешающей строке и нижние в разрешающем столбце;

• заполняем остальные клетки таблицы как произведения соответствующих выделенных элементов.

Результат преобразований представлен в таблице 2.3 (выделен курсивом). Далее формируем таблицу текущего решения, соответствующую обмену по правилам, указанным выше на1 итерации.

Таблица 2.4

Целевая функция	Свободные члены	Свободные переменные
базис	уравнений	-W3	-W4
F	-16272,5	-18,8	-30,91
W1	454,5	3,62	-1,82
W2	472,5	-1,818	2,909

Полученное решение (столбец свободных членов) является допустимым и оптимальным, исходя из представленных выше правил анализа симплекс-таблиц.

Отсюда оптимальное решение, соответствующее min F' (max F) имеет вид: W₁ = 454,5 МВтч – отпуск электроэнергии на ТЭС1; W₂ = 472,5 МВтч – отпуск электроэнергии на ТЭС2; максимальная стоимость отпущенной электроэнергии F = 162272,5 тыс. рублей, что совпадает с решением полученным графическим способом.