2. Применение графического метода для решения задач линейного программирования

Методы решения задач линейного программирования в зависимости от размерности задачи оптимизации подразделяются на графические и аналитические [1,2,7].

Графический метод оптимизации применяется только для двумерных задач, когда решение можно представить на плоскости. Это позволяет получить наглядное представление об оптимизационном решении задачи, что является основным достоинством метода. Но возможности применения метода ограничены, он может использоваться для простейших математических моделей на отдельных этапах анализа сложных оптимизационных процессов.

Рассмотрим применение графического метода на примере задачи рационального распределения ресурсов.

Условие задачи, связанной с рациональным использованием топлива на тепловых станциях энергосистемы для получения максимального суммарного отпуска электроэнергии, и исходные данные для простейшего случая двумерной задачи, представлены в табл.2.1 (численные значения параметров носят условный характер и определяются удобством проведения расчетов).

Математическая модель задачи рационального распределения ресурсов включает в себя целевую функцию (2.2), ограничения (2.3-2.4) и граничные условия (2.5). Математически требуется найти решение W₁,W₂, удовлетворяющее системе неравенств (2.3-2.5), соответствующее максимуму F.

Алгоритм графического метода сводится к следующим этапам:

• Построение области допустимых решений (ОДР):

  • отобразим графически на плоскости неравенство (2.3), для этого перейдем к уравнению вида:

, которое представим графически прямой (1) на рис 2.1 по точкам (W₁=750, W₂=0) и (W₁=0, W₂=1200).

Неравенство (2.3) определяет полуплоскость, заштрихуем ту часть, которая не удовлетворяет неравенству (рис.2.1).

• аналогичные построения проведем для неравенства (2.4) – линия (2) рис.2.1 по точкам (W₁=1400,W₂=0) и (W₁=0, W₂=700);

• граничные условия соответствуют двум дополнительных неравенствам (2.5), которые определяют неотрицательность переменных W₁ и W₂, что отображено штриховкой на рис 2.1.

Координаты всех точек не заштрихованного многоугольника ABCO имеют такие значения W₁ и W₂, которые удовлетворяют системе неравенств (2.3-2.5) и образуют область допустимых решений.

• Построение графика целевой функции.

Графически видно, что оптимизационная задача имеет множество допустимых решений, из которых требуется найти оптимальное, удовлетворяющее в данном случае максимуму целевой функции.

Для графического представления целевой функции зададимся произвольным значением F=12000 и построим линию (3), которая называется линией уровня целевой функции (рис.2.1):

(2.6)

по точкам (W₁=0, W₂=600) и (W₁=800, W₂=0)

Возможное увеличение целевой функции связано с удалением прямой от начало координат. Убедимся в этом, построив еще одну линию уровня для значения F=15000 – линия (4) рис.2.1.

(2.7)

по точкам (W₁=0,W₂=750) и (W₁=1000,W₂=0)

Стрелка на рис.2.1 указывает направление возрастания F. Максимума она достигает в вершине B многоугольника ABCO ОДР.

Таким образом, полученное решение соответствует отпуску энергии с шин ТЭС: W₁=450 МВтч; W₂=470 МВтч; F_опт=16150 тыс.руб.

На основании рассмотренного примера можно сделать вывод: оптимальным решением всегда являются координаты вершины области допустимых решений.