Системы массового обслуживания и их характеристики.

Рассмотрим некоторые простейшие СМО и выведем аналитические выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом увидим основные методические приёмы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания.

Все потоки событий, переводящих СМО из состояния в состояние будем считать простейшими. В их числе будет и «поток обслуживаний». Под ним подразумевается поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение

(«время обслуживания - показательное»).

1. n – канальная СМО с отказами(задача Эрланга).

Рассмотрим одну из первых по времени, «классических » задач теории массового обслуживания :имеетсяn- каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ (величина обратная среднему времени обслуживания). Найти предельные состояния СМО, а также характеристики её эффективности:

A – абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени ;

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

P_отк– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

К– среднее число занятых каналов.

Решение : Состояния системыS(СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S₀– в СМО нет ни одной заявки,

S₁– в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

……………………………………………………………………………………………..

S_k– в СМО находитсякзаявок (кканалов занято, остальные свободны),

……………………………………………………………………………………………..

S_n– в СМО находитсяnзаявок (всеnканалов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис 5.3). Разметим этот граф – проставим у стрелок интенсивности потоки событий.

И

λ

зS₀вS₁систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система переходит изS₀вS₁). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (верхние стрелки на рис 5.3).

S₀

S₁

S₂

S_k

S_n

λ

λ

λ

λ

λ

μ

2μ

3μ

kμ

(k+1)μ

nμ

Рис. 5.3

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁(работает один канал). Он производит μ обслуживаний в единицу времени. Проставляем у стрелкиS₁→S₀интенсивность μ. Пусть система находится в состоянииS₂(работают два канала). Чтобы системе перейти в состояниеS₁, нужно, чтобы закончил обслуживание либо первый канал либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживания равна 2μ; проставляем её у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3μ,кканалами – кμ. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся формулами (5.7), (5.8) для предельных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (5.8) получаем :

(5.14)

Члены будут представлять собой коэффициенты приP₁,P₂,…,P_n:

(5.15)

Интенсивности λ и μ входят в формулы (5.14)и(5.15) только в виде отношения .

Обозначим (5.16)

и будем называть величину θ «приведённой интенсивностью заявок». Её смысл – среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы(5.14)и(5.15) в виде:

(5.17)

(5.18)

Эти формулы для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга – в честь основателя теории массового обслуживания. Т.о. предельные вероятности найдены и по ним вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдём Р_отк– вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы всеnканалов были заняты, значит,

(5.19)

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена :

(5.20)

Абсолютную пропускную способность, получим умножая интенсивность потока λ на Q:

(5.21)

Найдём среднее число занятых каналов. Эту величину можно было бы найти как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями

0,1,…,nи вероятностями этих значений Р₀,Р₁,…,Р_n:

и подставляя сюда выражение (5.18)для вероятностей, получить эту формулу для. Но её можно получить гораздо проще. Нам известна абсолютная пропускная способность А, а это – интенсивность потока обслуженных системой заявок.

Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем μ заявок. Значит среднее число занятых каналов равно

(5.22)

или учитывая (5.21)

(5.23)