Занятие №5
Системы массового обслуживания.
Задачи теории массового обслуживания.
Классификация систем массового обслуживания.
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, магазины, справочные бюро и т.д.
Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»),
которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, продавцы, лифты, машины и др.
СМО могут быть одноканальными и многоканальными.
Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то, вообще, говоря, случайное время Тоб , после чего канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времён обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО представляет случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО, которые описывают её способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей могут применяться разные величины: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д. Среди заданных условий работы СМО намеренно не выделены элементы решения: как, например, число каналов, их производительность, режим работы СМО и т.д.
Важно уметь решать прямые задачи исследования операций, а обратные ставятся и решаются в зависимости от того, какие именно параметры нам нужно выбирать или изменять. Задачами оптимизации мы здесь почти не будем заниматься (только в простейших случаях).
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы – марковский. Мы уже знаем, что для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки обслуживаний), были простейшими. Если это свойство нарушается, то математическое описание процесса становится гораздо сложнее и довести его до явных, аналитических формул удаётся лишь в редких случаях. Однако аппарат простейшей, марковской теории массового обслуживания может пригодиться для приближённого описания работы СМО даже в тех случаях, когда потоки событий – не простейшие. Во многих случаях для принятия разумного решения по организации работы СМО и не требуется точного знания всех её характеристик – зачастую достаточно и приближённого.
СМО делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое – СМО с отказамииСМО с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название - «теория очередей».
СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь – ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» - заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается обслуживание с приоритетом– некоторые заявки обслуживаются вне очереди. Приоритет может быть какабсолютным– когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» заявку с низшим, так иотносительным– когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.
Существуют СМО с многофазнымобслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз».
Кроме этих признаков, СМО делятся ещё на два класса: «открытые» и «замкнутые».
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависят от того, сколько их уже неисправно и ждёт наладки. Это – пример замкнутой СМО. На этом ограничимся классификацией СМО.
Оптимизация работы СМО может производиться под разными углами зрения: с точки зрения организаторов (или владельцев) СМО или с точки зрения обслуживаемых клиентов. С первой точки зрения желательно «выжать» всё, что возможно из СМО и добиться того, чтобы её каналы были предельно загружены. С точки зрения клиентов желательно всемерное уменьшение очередей. При решении задач оптимизации в теории массового обслуживания необходим «системный подход», полное комплексное рассмотрение всех последствий каждого решения. Например, с точки зрения клиентов СМО желательно увеличение числа каналов обслуживания; но работу каждого канала надо оплачивать, что удорожает обслуживание. Построение математической модели позволяет решить оптимизационную задачу о разумном числе каналов с учётом всех «ЗА» и «ПРОТИВ». Поэтому не будем выделять в задачах массового обслуживания какого-либо одного показателя эффективности, а сразу ставим эти задачи как многокритериальные.
Схема гибели и размножения.