Транспортная задача лп

Существуют частные типы задач ЛП, которые в силу особой своей структуры, допускают решение более простыми методами. Одна из них - так называемая транспортная задача (ТЗ). Она ставится следующим образом: имеются mпунктов отправления (ПО), в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственноединиц. Имеетсяnпунктов назначения (ПН), подавших заявки соответственно наединиц груза. Сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

(2.20)

Известны стоимости перевозки единицы груза от каждого пункта отправленияAдо каждогоВсе числа, образующие прямоугольную матрицу заданы ():

(2.21)

Считается, что стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу.

Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц везти), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Поставим эту задачу как задачу ЛП.

Обозначим - количество единиц груза, отправляемого изi-го ПОA, вj-й ПНB. Неотрицательные переменныетоже можно записать в виде матрицы ():

(2.22)

Совокупность чисел () (2.22) будем называть “планом перевозок”, а сами величины- «перевозками”. Эти неотрицательные переменные должны удовлетворять следующим условиям:

1. Суммарное количество груза, направляемое из каждого ПО во все ПН, должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это даёт нам mусловий-равенств:

(2.23)

2. Суммарное количество груза, доставляемое в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно

заявке, поданной данным пунктом. Это даст нам n-условий равенств:

(2.24)

3. Суммарная стоимость всех перевозок, т.е. сумма величин , умноженных на

соответствующие стоимости должна быть минимальной:

(2.25)

где знак двойной суммы означает, что суммирование производится по всем комбинациям индексов iиj, т.е. по всем парам ПО-ПН.

Особенностью ТЗ является то, что все коэффициенты в условиях (2.23), (2.24) равны единице – это позволяет решать задачу простыми способами, которые подробно рассмотрены в литературе.

Задачи целочисленного программирования

На практике часто встречаются задачи, совпадающие по постановке с задачами ЛП, но отличающиеся тем, что искомые значения переменных обязательно должны быть целыми. Такие задачи называются задачамицелочисленного программирования; дополнительное условие целочисленности переменных существенно затрудняет их решение.

Рассмотрим пример такой задачи. Пусть имеется ряд предметов (ценностей) П,П,…,П, которые желательно увезти из угрожаемого района. Известны стоимости этих предметов:и их веса. Количество и вид предметов, которые мы можем увезти, лимитирован грузоподъемностьюQмашины. Требуется из всего набора предметов выбрать наиболее ценный набор (с максимальной суммарной стоимостью предметов), вес которого укладывается вQ.

Введём в рассмотрение переменные , определяемые условием:, если мы берём предмет П, и, если не берём.

При заданных значениях суммарный вес предметов, которые мы берём, равен. Условие ограниченной грузоподъёмности запишется в виде неравенства:

(2.26)

Теперь запишем общую стоимость предметов, которую мы хотим максимизировать:

(2.27)

Т.о. задача на вид почти не отличается от обычной задачи ЛП: найти неотрицательные значения , которые удовлетворяют (2.26) и обращают в максимум линейную функцию этих переменных (2.27). Может показаться, что решать эту задачу надо как задачу ЛП, введя дополнительные условия:

Но найденное таким образом решение может оказаться дробным, а значит неосуществимым (нельзя делить предмет). А нельзя ли округлить полученные значения до ближайшего целого (0 или 1). Полученное таким образом решение может или не удовлетворять (2.26), или может быть совсем не оптимальным; хотя иногда такое округление допустимо в некоторых задачах.

Вообще задачи целочисленного программирования гораздо труднее обычных задач ЛП, они очень сложны и трудоёмки. Имеется ряд методов решения подобных задач, которых мы касаться не будем.