Занятие 2.

Линейное программирование.

Рассмотрим задачи, где выбор показателя эффективности Wопределяется целевой направленностью операции и её условия заранее известны (детерминированный случай). Тогда показатель эффективности зависит только от двух групп факторов: заданных условийa и элементов решенияx:

W=W(a, x) 2.1.

При этом в числе заданных условий aприсутствуют ограничения, налагаемые на элементы решения. Пусть решениеxпредставляет собой совокупностьnэлементов решения(n-мерный вектор):

Требуется найти такие значения , которые обращают величинуWв максимум или минимум (экстремум).

Такие задачи-отыскания значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений, наложенных на аргументы, носят название задач математического программирования. Возникающие при решении трудности зависят:

1. от вида функциональной зависимости (2.1);

2. от размерности задачи n;

3. от вида и количества ограничений, наложенных на элементы решения.

Среди задач математического программирования самыми простыми являются задачи линейного программирования.

Для этих задач характерно то, что:

1. показатель эффективности (целевая функция) W линейно зависит от элементов решения;

2. ограничения, налагаемые на элементы решения, имеют вид линейных равенств или неравенств, относительно.

Такие задачи часто встречаются на практике при распределении ресурсов, планировании производства, организации работы транспорта и т.д., так как во многих задачах практики расходы и доходы линейно зависят от количества закупленных средств (например, суммарная стоимость партии товаров линейно зависит от количества закупленных единиц; оплата перевозок производится пропорционально весам перевозимых грузов и т.д.).

Приведём несколько примеров задач линейного программирования.

1. Задача о планировании производства.

Предприятие производит изделия трёх видов: По каждому виду изделия имеется план, по которому предприятие должно выпустить не менееединиц изделия, не менееединиц изделияи не менееединиц изделия. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственноединиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья:, причём запасы сырья ограничены числамиединиц каждого вида сырья.

Надо так же знать, какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим количество единиц сырья вида, необходимое для изготовления одной единицы изделия. Первый индекс- вид изделия, второй- вид сырья. Значениясведены в таблицу (матрицу) (табл. 2.1)

Таблица 2.1

Сырьё	Изделия
	U	U	U
S	a	a	a
S	a	a	a
S	a	a	a
S	a	a	a

При реализации одно изделиеприносит предприятию прибыль,- прибыль,- прибыль.

Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии “ затоваривания ”), а суммарная прибыль обращалась в максимум.

Запишем задачу в форме задачи линейного программирования. Элементами решения будут - количество единиц изделий, которые мы произведём.

Выполнение планового задания запишем в виде трёх неравенств:

(2.2)

Отсутствие излишней продукции даёт нам ещё три неравенства:

(2.3)

При этом нам должно хватить сырья. Соответственно четырём видам сырья будем иметь четыре неравенства:

(2.4)

Прибыль, приносимая планом , будет равна:

(2.5)

Т.о. мы получили задачу линейного программирования: найти такие неотрицательные значения переменных , чтобы они удовлетворяли неравенствам-ограничениям (2.2), (2.3), (2.4) и, вместе с тем обращали в максимум линейную функцию этих переменных:

(2.6)

2. Задача о снабжении сырьём.

Имеется три предприятия: П, П, П, требующих снабжения определённым видом сырья. Потребности в сырье каждого предприятия равны соответственноединиц. Имеется пять сырьевых баз, расположенных от предприятий на каких-то расстояниях и связанных с ними путями сообщения с разными тарифами. Единица сырья, получаемая предприятием П, с базы Б, обходится предприятию врублей(первый индекс- номер предприятия, второй- номер базы (см. таблицу 2.2)).

Таблица 2.2

Предприятие	База
	Б	Б	Б	Б	Б
П
П
П

Возможности снабжения с каждой базы ограничены её производственной мощностью: базы Б,…,Бмогут дать не болееединиц сырья.

Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьём (с какой базы, куда и какое количество сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырье.

Опять стоит задача линейного программирования. Обозначим количество сырья, получаемымi-м предприятием сj-той базы. Всего план будет состоять из 15 элементов решения:

(2.7)

Введём ограничения по потребностям. Они состоят в том, что каждое предприятие получит нужное ему количество сырья:

(2.8)

Далее запишем неравенства, вытекающие из производственных мощностей баз:

(2.9)

Наконец, запишем суммарные расходы на сырьё, которые мы хотим минимизировать. С учётом данных таблицы 2.2 получим:

(2.10)

Опять перед нами задача линейного программирования: найти такие неотрицательные значения переменных , которые удовлетворяли бы ограничениям-равенствам (2.8), ограничениям-неравенствам (2.9) и обращали бы в минимум их линейную функцию (2.10).

Т.о, мы рассмотрели две задачи линейного программирования (ЛП). Они сходны между собой, разница в том, что в первой требуется обратить линейную функцию в максимум, а во второй - в минимум; в одной ограничения - только неравенства, в другой - как равенства, так и неравенства. Бывают задачи ЛП, где все ограничения-равенства. Эти различия не существенны, т.к. от неравенств легко перейти к равенствам и обратно и это будет показано далее.