теория / 27 ВОПРОС

27.Производная обратной функции. Производные и дифференциал обратных тригонометрических функций.

Пусть функция монотонна на отрезке и имеет на производную . Пусть и . Тогда существует обратная функция , которая является непрерывной и монотонной на .

Т. Если функция монотонна на отрезке и имеет во всех точках интервала ненулевую производную , то обратная функция дифференцируема во всех точках интервала и ее производная .

 Придадим фиксированному значению y обратной функции приращение . Соответствующее приращение обратной функции в силу ее монотонности. Найдем производную обратной функции

.

Здесь при в силу непрерывности функции . 

Используя полученный результат, найдем производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций.

Пусть . В интервале обратная функция монотонна и ее производная не равна нулю. Применяя теорему о производной обратной функции, имеем

.

Перед квадратным корнем выбран знак “+”, так как для .

Для сложной функции : , .

Аналогично доказывается, что для функции , .

Пусть . В интервале обратная функция монотонная и ее производная . Используя соотношения между производными взаимообратных функций, получим

.

Для сложной функции :

и .

Аналогично выводится формулы для функции :

, .